2013届高三数学二轮复习课件：4.2数列的应用

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1、能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题．该部分易出解答题，相对较难，通常与函数、不等式等知识相结合，综合性较强、难度较大，且往往为压轴题．近几年的模拟试题、高考题中常出现以高等数学中的矩阵为背景的“矩阵数列”；与解析几何相结合的“点列”问题，成为考题一大靓点，备受命题者的青睐，望同学们在二轮复习中多加留意，发现其解题规律以提高解题能力．1．数列是高数学的重要内容，也是高考的热点．纵观近几年高考，关于数列的考查有以下三方面内容：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列的概念

2、、公式、性质等；二是数列与其它知识的交汇，如：与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的结合；三是数列的应用问题，主要是增长率，分期付款等数列的模型．2．解数列型应用题的关键是建立有关等差数列、等比数列或递推数列的模型，再综合运用数列的有关知识去解决问题．凡涉及到利息、产量、降(升)价、繁殖与增长率或降低率有关的问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等与月(年)份有关的实际问题，可考虑转化为相应的数列问题解决．[例1](2011·海南三模)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式

3、f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f(x2)成立，设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式；[分析](1)由①②两个条件可以确定函数f(x)的解析式；(2)根据数列中an与Sn的关系即可求出{an}的通项公式；(3)(文)准确理解变号数的概念；(理)具体求出Tn后，问题等价于m<(Tn－n)min.[解析](1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a2－4a＝0⇒a＝0或a＝4.当a＝

4、4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上单调递减，故存在0f(x2)成立；当a＝0时，函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0f(x2)成立．综上，a＝4，故f(x)＝x2－4x＋4.[评析](1)由于数列是特殊的函数，因此当以函数形式给出数列时，应转化为an与n的关系．(2)数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综

5、合性题目时，注意数列与函数的内在联系．[评析]先做第(2)问，求出数列{an}的通项公式，然后根据数列{an}的通项公式再证第(1)问an0，n≥2)，且a1＝0，n≥2时，an>0.其中Sn是数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；[评析]数列与解析几何存在着密切联系，当然数列综合题还可与方程、不等式、复数、三角函数、立体几何等相结合．(3)由题意得S＝{x

6、x＝－2n－

7、1，n为正整数}，T＝{y

8、y＝－12n＋9，n为正整数}，所以S∩T中的元素组成以－3为首项，－12为公差的等差数列，所以a1＝－3，则数列{an}的公差为－12k(k∈N*)，若k＝1，则an＝－12n＋9，a10＝－111∉(－225，－115)；若k＝2，则an＝－24n＋21，a10＝－219∈(－225，－115)；若k≥3，则a10≤－327，即a10∉(－225，－115)．综上所述，数列{an}的通项公式为an＝－24n＋21(n为正整数).[例4]某城市2011年末汽车拥有量为30万辆，

9、预计此后每年将上一年末汽车拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆．从2011年末起，n年后年末汽车拥有量为bn＋1万辆，若每年末的拥有量不同．(1)求证：{bn＋1－bn}为等比数列；(2)每年新增汽车数量不应超过多少辆？[分析]解答应用题的关键是将自然语言转化为数学语言，联系所学数学知识点建立正确的数学模型．[解析](1)设2011年末汽车拥有量为b1万辆，每年新增汽车数量为x万辆，则b1＝30，b2＝b1×0.94＋x，可得bn＋1＝0.94bn＋

10、x，又bn＝0.94×bn－1＋x两式相减得，bn＋1－bn＝0.94×(bn－bn－1)，∵每年末的拥有量不同，∴{bn＋1－bn}是以b2－b1＝x－1.8为首项且公比为0.94的等比数列．