2012年高考数学二轮复习 4.2 数列的综合应用课件 理.ppt

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1、第2讲　数列的综合应用重点知识回顾数列的综合应用通常有三种类型．一、数列知识范围内的综合应用1．等差、等比数列以及递推数列之间的综合问题．2．解此类题型时，要紧扣等差、等比数列的定义和性质，做出合理的分析，灵巧地选择公式或性质，找出解题的切入点和思路．二、数列的实际应用问题试题中常用的数学模型有：1．构造等差、等比数列的模型，然后再利用数列的通项公式和求和公式求解；2．用无穷递缩等比数列的通项公式求解：3．通过归纳得到结论，再用数列知识求解．三、数列与其他分支知识的综合应用1．主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解几、极限数学归

2、纳法等知识的综合．2．解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．主要考点剖析考点一　数列与数学归纳法的综合应用命题规律数学归纳法突出“归纳—猜想—证明”的思维方法，多表现为证明等式或不等式．且常以数列问题为背景，其中不等式的证明较为常见，题型为大题且难度较大．●例1在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等

3、差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：【分析】求出数列{an}、{bn}的前4项后猜测{an}、{bn}的通项公式，再用数学归纳法证明；对an＋bn进行放缩，再求和可得．【解析】(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，an＋12＝bnbn＋1由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25．猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2．用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立

4、．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2．所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)．n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2n(n＋1)．综上，原不等式成立．【点评】本题主要考查等差数列，等比数列，特殊到一般的思想方法，数学归纳法，裂项相消法，不等式的放缩等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、

5、总结、推理、论证等能力．由此可见：数学不但要教演绎，更要教猜想和归纳．★互动变式1设函数y＝(n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，且cn＝．(1)求数列{cn}的通项公式；(2)记Sn＝,求证:2(－1)

6、数学归纳法证明．①当n＝1时，不等式2(－1)<1<2显然成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即则当n＝k＋1时，只须证明⇔⇔⇔，成立；知即证明，成立．所以当n＝k＋1时不等式成立．综合①②，可知对一切正整数，不等式成立．考点二　数列与函数的综合应用命题规律数列与函数交汇题是近年高考出现的考题，常以函数为背景，渗透函数的性质、导数的应用，是难度大的数列问题，以解答题为主．●例2已知函数f(x)＝2n－x在区间(0，＋∞)上的最小值是an(n∈N*)．(1)求an；(2)若Tn＝cos－sin，试比较Tn与Tn＋1的大小；(3)设S

7、n为数列{}的前n项和，求Sn的值．【分析】(1)借助导数求出最小值an．(2)利用y＝cosx的单调性证明．(3)通过裂项求和得出Sn，再求其极限．【解析】(1)由f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝．当x∈[0，]时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0．∴an＝f(x)min＝f()＝．(2)Tn＝cos－sin＝cos(＋)，an≥．易知π>>0．又函数y＝cosx在区间(0，π)上是减函数，∴Tn＋1＞Tn(n∈N*)．(3)因为，所以Sn＝(1－)，故Sn＝．【点评】本题考查函数的最值、单调性、数列

8、的求和、极限等知识，综合性较强．★互动变式2已知数列{an}满足a1＝,an＋1＝.(1)求a2、a3、a4的值并猜想an的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn