三次函数的对称中心问题

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1、三次函数的对称中心问题广州市第四中学高二3班梁隽铭指导教师刘运科对于三次函数，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.先考虑较简单的两个特殊情况：一、求的图象对称中心坐标.此特殊情况较简单.因是奇函数，故其对称中心坐标为.二、求的图象对称中心坐标.此特殊情况也较简单.将的图象通过适当平移就可得到的图象.当时，将的图象向上平移个单位长度，就可得到的图象；当时，将的图象向下平移个单位长度，就可得到的图象.因是奇函数，对称中心坐标为，故的图象对称中心为.上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的

2、性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当时，最简单的一个具体实例：三、求的图象对称中心坐标.首先，利用GC，探究的图象对称中心坐标.步骤：①．画出的图象，并适当调整的取值范围，如图1；②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU键，选择菜单的FCN键，再选择Extremum，OK，可以得到一个极值点；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点，如图2、3；③．求出两个极值点的中点，画出的图象如图4，可求的两个极值点，发现是关于原点成中心对

3、称的，如图5、6；④．故可知，是奇函数，对称中心为；故的对称中心为.图1图2图3图4图5图6那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到的图象可能是由某个奇函数通过适当平移得到，故有如下的解法：【解】设将的图象通过适当平移可以得到的图象，则可设，显然，，故，比较系数，可知：解得.故，将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即可得到的图象.因的图象对称中心坐标为，故的图象对称中心坐标为.将此法推广到一般情况，就可以解决求的对称中心坐标问题：四、求的对称中心坐标.【解】设，，比较系数，有解得，故的对称中心坐标为.五、综上，的对称中心坐标为.在上面的

4、解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.六、利用导数知识，求的对称中心坐标.【解】，其判别式，导函数图象对称轴方程为.⑴．当时，导函数有两个零点，有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为，纵坐标为.⑵．当时，若，则恒成立，在上单调递增，当时，取到最小值，函数增长率最小，对应图象上的对称中心点；若，则恒成立，在上单调递减，当时，取到最大值，函数增长率最大，对应图象上的对称中心点.故对称中心横坐标为，纵坐标为.七、一点心得图形计

5、算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.