过程性教学思想的典型案例分析

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1、过程性教学思想的典型案例分析“二次根式的第二个重要公式=

2、

3、”的教学案例青浦县数学教改实验小组.学会教学.人民教育出版社,1991.师：上节课我们学习了二次根式的概念和一个重要公式.请同学们回忆一下，什么叫二次根式？生：式子（≥0）叫做二次根式.师：为什么要规定≥0？生1：≥0可以保证有意义.如果＜0，就是负数，而负数是没有平方根的，所以就没有意义了.师：生1同学从有没有意义来回答这个问题，是对的.但应注意，有没有意义是在实数范围内说的，因此最好在前面添一句“在实数范围内”.那么当≥0时，又是个怎样的数呢？生1：总是一个非负数.师：对！二次根式（≥0）是非负数的算术平方根的表达式，它本

4、身也是一个非负数.二次根式的一个重要公式又是什么？生2：＝(≥0).(教师板书)师：用语言如何叙述呢？生2：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身.师：对.现在有这样一个问题：如果把式子的平方记号从根号外移到根号内，变为，那么等于什么呢？生众：(不加思索便脱口而出)等于.(教师板书)师：如果把改为，那它又等于什么呢？生众：＝－.(教师板书，部分同学已开始怀疑)师：这两个结论是不是正确呢？我们不妨先比较一下，看两个等式的左边是否相同？生3：相同的，因为=.师：好，那么这两个等式的右边也应该相同，就是说＝－，难道任何数都等于它的相反数？这里显然有错误，那么问题到底在哪里呢？请同学们想一

5、想.(学生两两议论，一时拿不定主意)生4：(疑惑)原来的那个结论可能有问题.师：看来问题就在这里，如果认为=，恐怕是不妥当的(教师在=的等号上面打个“？”号).那么到底等于什么呢？我们通过下面几组题目再来看.(挂出小黑板)根据算术平方根的意义说出下列各式的结果：第一组：(1)＝＿；(2)＝＿；（3）＝＿；（4）＝＿（＞0）.第二组：（1）＝＿；（2）＝＿；（3）＝＿；（4）＝＿（＜0）.先回答第一组题目.生5：＝2，＝3，＝，=（＞0）.师：再看第二组题目.生6：＝2，＝3，＝……师：这三个题目被开方数都是幂的形式，它的底数是什么数？答案与它又有什么关系？第(4)题答案应是什么呢？生6

6、：被开方数的底数都是负数，答案是底数的相反数.所以最后一题=－（＜0).师：同学们都看到了吗？现在=－了!那么刚才第一组不是等于吗？生6：第一组里是大于零的，现在的是小于零的.师：大家同意吗？生众：(多数学生)同意.师：对，说得很好!上面两组题目，二次根式的被开方数都是某数平方的形式，即的形式.现在做了前面两组题目以后，大家再想想，的结果到底应该怎样表示？(学生独立思考，然后分组讨论，气氛比较热烈)请同学们汇报一下讨论的结果.生7：当＞0时，=；当＜0时，=－.师：可不可以等于0呢？生7：=0时，==0.师：归纳得很好.这个结论可以写得简洁一些，就是=（教师板书）同学们看到了吗？对于同

7、一个二次根式，由于的情况不一样，它的结果是不同的.能不能用语言来叙述一下？生8：一个非负数的平方的算术平方根等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数.师：叙述得很好！因为是表示的算术平方根，而由算术平方根的意义知道它必定是非负数，由于的符号不确定，因此不一定等于，而要考虑各种情况：当是正数或零时是它本身；当是负数时是它的相反数，还是正的.同学们回忆一下，以前我们学过的什么知识也有类似的情况呢？生9：绝对值也有这种情况.师：对.的绝对值意义也是这样：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；当是零时它的绝对值等于零.（板书成

8、

9、=的形式）那么，比较这两

10、个式子，你认为和

11、

12、又有什么关系呢？生众：=

13、

14、.师：对，这就是我们今天这节课学习的内容.(板书课题：=

15、

16、)=

17、

18、是二次根式的第二个重要公式，求一个数的平方的算术平方根和求这个数的绝对值，结果是一致的.所以求算术平方根这个新问题也可以直接变为求绝对值这个旧问题来解决.师：做这两个练习时要看清应用的是哪一个公式.下面再来看一组题目.(挂出小黑板)化简：（1）(<0)；（2）（>4）；（3）（<5）；（4）+(<1).师：先看一下这组题目与刚才几组题目有什么明显不同的地方？生10：刚才几组题目，被开方数是具体数字，这一组题目，被开方数中含有字母.师：对.那么又应该如何化简呢？先看第（1）

19、题.生11：=

20、

21、，因为＜0，所以等于－.师：可以这样书写：=

22、

23、，因为＜0，所以=

24、

25、=－.请按这样的格式把（2）、（3）、（4）题练习一下.(学生练习，教师巡视，再请三名学生板演)生12：（2）=

26、－4

27、，因为＞4，所以－4＞0，所以=

28、－4

29、=－4.生13：（3）=

30、－5

31、，因为＜5，所以－5＜0，所以=

32、－5

33、=－（－5）=5－.生14：（4）+=+=+

34、－1

35、，因为＜1，所以－1＜0，所以+=+

36、－1

37、=－（－1）=－+1=1.师：做