人口模型预测——数学建模作业

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1、上传是为了分析数学的乐趣，请粘贴复制的时候也多思考哈。为了更多的学子们。2014年数学建模论文第二套题目：人口增长模型的确定专业、姓名：土木135提交日期：2015/7/2晚上题目：人口增长模型的确定摘要对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，用matlab里的cftool工具箱求出参数，即人口净增长率r=0.02222,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出

2、其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.02858和人口所能容纳最大值=258.9,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，以及两个模型的误差图。关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。表1人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(´106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.

3、650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(´106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。二、问题分析由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因

4、此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。三、问题假设1.假设所给的数据真实可靠;2.各个年龄段的性别比例大致保持不变;3.人口变化不受外界大的因素的影响；4.马尔萨斯人口模型（1）单位时间的人口增长率r为常数；（2）将视为t的连续可微函数。5.改进后的模型（阻滞增长模型）(1)人口净增长率r为变化量。四、变量说明t时刻的人口数量初始时刻的人口数量r人口净增长率环境所能容纳的最大人口数量，即五、模型建立1．马尔萨斯人口增长模型t=1790时的人口数为,在t到t+Δt这一时间间隔内，人口的增长为由于则得到可建立含初始条件的微

5、分方程=,=3.9（省略10^6）其解为2．阻滞增长模型假设人口增长生长率为人口的线性递减函数，即。假设自然资源和环境条件所能承受的最大人口容量为，显然，当时，。所以。因此有。于是建立下列微分方程，。把上式化为。分离常数并积分得到：。六、模型求解1.马尔萨斯模型求解参数估计:r可以用实际数据的线性最小二乘法求解，对于，直接求解是比较麻烦的，因此在两边取对数，即，记，=a。则原方程化为(x)=3.9*exp(r*(t-1790))。利用1790—1900年的数据进行拟合，得到r=0.02142.所以也能求出方程程序见附录1。但本题还可以应用matlab里的cftool工具箱求参数，在命令行

6、中输入得到更精确的解：Generalmodel:f(x)=3.9*exp(r*(t-1790))Coefficients(with95%confidencebounds):r=0.02222(0.02163,0.02281)得到如图所示结果，其中蓝线表示马尔萨斯人口模型预测人口数据，正方形黑点表示实际人口数据。图1.马尔萨斯人口模型与实际人口数据则每隔10年预测人口为:,,,,，然而查阅相关年份美国实际人口数据，1990年为248.7百万，2000年为281.4百万，2010年为307.0百万。对于2020年和2030年实际还没有统计，因为没有发生，但通过前三个数据就可以看出马尔萨斯模型

7、预测人口与实际有很大出入，所以必须对该模型做出改进，得到更符合实际的预测模型。2.阻滞增长模型求解通过对求导得拐点在时，人口增长速度最大。在问题分析已经得到该模型的表达式，运用matlab里的cftool工具箱拟合求出参数:Generalmodel:f(x)=a*3.9/(3.9+(a-3.9)*exp(-r*(t-1790)))Coefficients(with95%confidencebounds):a=285.9(257.4,