定积分的定义与基本性质

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1、第六章定积分定积分主要内容1.定积分的定义与性质2.定积分的存在定理3.微积分的基本定理4.定积分的计算5.积分应用:函数的磨光教学要求掌握定积分的定义以及积分存在定理，掌握微积分的基本定理，熟练进行定积分计算定积分的定义与基本性质主要内容1.定积分概念的物理背景2.定积分的数学定义3.定积分的基本性质教学要求准确掌握定积分的定义以及基本性质定积分的定义两个实际问题实例1:求曲边梯形的面积yfxx(),ax,bx,轴围成区域的面积.矩形的面积s长宽定积分的定义用矩形面积近似取代曲边梯形面积可以看出:小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积定积分的

2、定义一般处理方法1将区间a,b分割:：a=x

3、i0i1逐步逼近：分割、累加和、极限定积分的定义实例2：求变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度vv(t)是时间间隔[T,T]上的函数,求物体在这段时间内所经过的路程.121分割:：tTtttT0112n2n2累加和:sv(,i)ti，iti1tii1n3取极限:max{t12,t,,tn}，slimv(i)ti0i1逐步逼近：分割、累加和、极限定积分的定义定积分数学定义设fx在ab,上有定义存在实数对于任意,I,0,存在0,任意分割:xax

4、x...xb,当分割的细度012nmaxxi,xixixi11时对任意,ixi,xi,1innfixixi1I1i1称fx在a,b上黎曼可积为,,Ifx在ab上b的定积分或者黎曼积分,记为fxdxIa注1定义中是xx,的任意一点ii-1i注2积分的定义用-1语言来描述，可以用极限的符号表示：nlimfixixi1I，与函数极限limfx不同.0xai1定积分的定义nbfxdxIlimf()x,

5、x,xiiii1ia0i1nf(ii)x::黎曼和fx被积函数i1x:积分变量ab,:积分区间bbb注3afxdxaftdtafrdr是一致的,即与自变量的选取无关.ab注4规若定:ab,fxdxfxdxba定积分的定义bfxdxSabfxdxaSSSS1324定积分的定义例1设在f[,]ab上可积分,gx与fx在[,]ab上有限个bb点不相同,则在g[,]ab上可积,且fxx()dgxx()d.aa证明:不妨设fb()gb(),仅就这种情况进行证

6、明,其余情况类似b可证.设fxx()dI.a对于任意的分割:xaxxxb,任取[x,x],012nii1ing()(ixixi1)Ii1nnf()(ixixi11)I[()fig()](ixixi)ii11nf()(ixixi1)Ifb()gb()i1定积分的定义由于fx()[,]在ab上可积分,因此有n0,10,1:f(i))(xixi1I1i12并且当,有

7、()fbgb()

8、22

9、()fbgb()

10、2

11、所以当min,时，12

12、()fbgb()

13、ng()(ixixi1)I.i1bb因此在g[,]ab上可积,并且fxx()dgxx()d.结论得证aa定积分研究内容：积分在什么条件下存在，如何计算？定积分的定义积分的定义是德国数学家黎曼(GeorgFriedrichBernhardRiemann,1826-1866)提出,通常称为黎曼积分.Riemann具有极高的数学天赋.他在复变函数论、黎曼几何、解析数论、组合拓扑、代数几何及数学物理等方面都做出了奠基性和创造性的工作.Riemann对相对论也有重要的贡献.相对论的创始人

14、Einstein(爱因斯坦)在研究广义相对论时遇到了来自数学的困难