设V是数域P上的n维线性空间

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1、定义8.1设V是数域P上的n维线性空间，A是V到V自身的一个线性映射，则称为V上的一个线性变换。两个线性变换A与B相等就规定这两个线性变换作为映射相等，即它们的作用效果完全相同，记为A=B。§8.1线性变换及其运算例1恒等映射是任意线性空间上的线性变换，称为恒等变换，记为E。设V为数域P上线性空间，k为P中任意固定的数，则aka是V上的线性变换，称为数量变换，记为kE。特别地，把V中任意向量都变成V中零向量的变换也是一个线性变换，称为V上的零变换，记为0。例2在2维欧氏空间R2中，规定其中为固定实数。实际上，如图8.1，变换A把R

2、2中每个向量按逆时针方向旋转角，所以不难验证，A是V=R2上的一个线性变换。例3在Pn[x]中，规定例4在n维列向量空间pn中，A为取定数域P上的n级矩阵，规定AX=AX，XPn。则A是Pn上的一个线性变换。由于线性变换是一类特殊的线性映射，所以它完全具有线性映射的性质（我们不再重述）。则A是Pn[x]上的线性变换。例5设V为实数域上全体可微函数作成的线性空间，规定(AB)(f(x))=A(B(f(x)))=A但是AB=E，但是(BA)(f(x))=B(A(f(x)))=取f(x)=x+1,则(AB)(f(x))(BA)(f(x

3、)).则下面我们规定线性变换的运算。一、线性变换的加法设A，B都是n维线性空间V上的线性变换，规定(A+B)(a)=Aa+Ba，aV，称A+B为A与B之和。易证，A+B仍为V上的线性变换，事实上，A+B是V到V的映射，且对任意a，V，kP，有(A+B)(a+)=A(a+)+B(a+)=(Aa+A)+(Ba+B)=(Aa+Ba)+(A+B)=(A+B)a+(A+B),(A+B)(ka)=A(ka)+B(ka)=k(Aa)+k(Ba)=k(Aa+Ba)=k(A+B)(a)二、线性变换的数量乘法设A是n维线性空间

4、V上的线性变换，k∈P,规定(kA)(a)=k(Aa),a∈V.则称kA为k与A的数量乘积。这种运算叫线性变换的数量乘法。类似可以验证，数k与线性变换A的数量乘积kA仍为V上的线性变换，请读者自己验证。三、线性变换的乘法设A,B都是n维线性空间V上的线性变换,规定(AB)a=A(Ba)，aV，则称AB为A与B的乘积注.线性变换的乘积就是它们作为映射的合成，即依次用线性变换作用。例如，kA就是数量变换kE与A的乘积类似可以验证，n维线性空间V上的任意两个线性变换的乘积仍为V上的线性变换。四、线性变换的逆设A是线性空V上的线性变换

5、，如果A作为V到V的映射是可逆的，即存在V到V的映射B使AB=BA=E（恒等变换），则称线性变换，A是可逆的，称B为A的逆变换，记为B=A-1.可以证明，可逆线性变换的逆仍为线性变换。注从定义上并不能直接看出可逆线性变换A的逆A-1也是线性变换！事实上，可逆线性变换A的逆A-1也是V到V的映射，且对任意a,V,kP,有A-1(a+)=A-1((AA-1)a+(AA-1))=A-1(AA-1a)+A(A-1)=A-1(A(A-1a+A-1))=(A-1A)(A-1a+A-1)=A-1a+A-1,A-1(ka)=A-1

6、(k(AA-1)a)=A-1(A(kA-1a))=(A-1A)(KA-1a)=kA-1a例6设A，B是R3上的线性变换：A(x,y,z)=(x-3y-2z,y-4z,z),A(x,y,z)=(x+3y+14z,y+4z,z).验证B=A-1证明因为对任意（x,y,z）R3，有(AB)(x,y,z)=A(B(x,y,z))=A(x+3y+14z,y+4z,z)=((x+3y+14z)-3(y+4z)-2z,(y+4z)-4z,z)=(x,y,z),同理，(BA)(x,y,z)=(x,y,z),所以AB=BA=E，故有B=A-1设V为

7、数域P上的n维线性空间，A为V上的的线性变换，1,2,…,n为V的一个基。则对任意aV有a=x11+x22+…+Xnn,从而Aa=x1A1+x2A2+…+xnAn这表明，如果我们取定线性空间V的一个基1,2,…,n,，V中任意一个向量a在A下的象Aa都被基的象A1,A2,…,An唯一确定。因此我们应该讨论基的象A1，A2,…,An§8.2线性变换的矩阵定义8.2设V是P上n维线性空间，1,2,…,n为V的一个基，A为V上的线性变换。如果即(A1,A2,…,An)=(1,2,…,

8、n)A，（2）（1）其中A=则称A为线性变换A在基1,2,…,n下的矩阵.有时，(2)也写成A（1,2,…,n）=（1,2,…,n）A（2）可以看出，线性变换在一个基下的矩阵的列向量组恰好是基的象在该基下的坐标。例1