上海大学 微积分(2) 超神指南

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1、学盟社&课外培养中心联合出品微积分超神指南1、设a⃑,b⃑,c为两两不共线的向量，那么证明a⃑+b⃑+c=0⇔a⃑×b⃑=b⃑×c=c×a⃑解：由a⃑+b⃑+c=0得a⃑+b⃑=−c则(a⃑+b⃑)×（−c）=0⃑即-a⃑×c−b⃑×c=0⃑因此b⃑×c=c×a⃑同理，b⃑×c=a⃑×b⃑2、求抛物线y2=2px从顶点到曲线上一点M(x,y)的弧长。y2y解：由y2=2px得x=,x′=2pp则yyyy√p2+y2令y=ptantℓ=∫√1+x′2dy=∫√1+()2dy=∫dy⇒原式pp000yyarctan22arctanp√p+(ptant)p=∫dptant=∫pse

2、c3tdtp00计算：让学盟社带你在微积分的世界中翱翔吧！感谢课外培养中心对学盟社的大力支持O(∩_∩)O热烈欢迎各位小鲜肉的加入学盟社，学盟社答疑群344373877第1页（共13页）学盟社&课外培养中心联合出品1cos2t+sin2t∫psec3tdt=p∫dt=p∫dtcos3tcos3t=p∫sect+tan2sectdtsect(sect+tant)其中∫sectdt=∫dt=ln

3、sect+tant

4、sect+tant∫tan2tsectdt=∫tan2tdsect=tantsect−∫sec3tdt∫sec3tdt=ln

5、sect+tant

6、+tantsect−

7、∫sec3tdt311即∫sectdt=ln

8、sect+tant

9、+tantsect22综上，∫psec3tdtpppy+√p2+y2=ln

10、sect+tant

11、+tantsect⇒ln222py+√p2+y22p3、求由圆r=√2sinθ与双扭线r2=cos2θ所围成的图形公共部分的面积。解：由r=√2sinθ得x2+(y−√2)2=112222π5π再由r2=cos2θ得（√2sinθ）=cos2θ，θ=或66ππ则由对称性可得S=2S=∫6r2dθ+∫4r2dθ=π+1−√3101π2626x4、求y=∫√sintdt的弧长。8让学盟社带你在微积分的世界中翱翔吧！感谢课

12、外培养中心对学盟社的大力支持O(∩_∩)O热烈欢迎各位小鲜肉的加入学盟社，学盟社答疑群344373877第2页（共13页）学盟社&课外培养中心联合出品解：由题意知sint在区间（x,8）或（8,x）上大于等于零则有2π≤x≤3π由此xxxL=∫√1+y′2dt=∫√1+(√sint)2dt=∫√1+sintdt888先计算√1+z11∫dz=∫dz=−∫d(1−z)=−2√1−z√1−z2√1−z√1−z故xL=∫√1+sintdt=−2√1−sinx+2√1−sin88ππtanxx5、I1=∫4dx,I2=∫4dx,0x0tanx求I1,I2,与1的大小关系。π解：由si

13、nx

14、dx=du2√u−1√u−11故原式=∫arctan√u−1lnudu=∫arctan√u−1lnudu=2√u−12u1lnu1arctan√u−1lnu−∫du−∫arctan√u−1du24√u−12令√u−1=t,u=t2+1则lnuln(t2+1)∫du=∫d(t2+1)=2∫ln(t2+1)dt√u−1t2t2=2tln(t2+1)−2∫dt=2tln(t2+1)−4t+4arctant+ct2+1∫arctan√u−1du=∫arctantd(t2+1)=2∫arctantdt=2tarctant−ln(1+t2)=2√u−1arctan√u−1−lnu+c′将

15、上述两式代入整合得1+x21−x原式=ln(1+x2)arctanx+ln(1+x2)−(1+x)arctanx+x+C2217、∫dx。cos4x+sin4x解：让学盟社带你在微积分的世界中翱翔吧！感谢课外培养中心对学盟社的大力支持O(∩_∩)O热烈欢迎各位小鲜肉的加入学盟社，学盟社答疑群344373877第4页（共13页）学盟社&课外培养中心联合出品11∫dx=∫dxcos4x+sin4x22222（cosx+sinx）−2sinxcosx11=∫dx=∫dx111−sin22xcos22x+sin