储六春--不等式

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1、2012年高中数学夏令营讲稿——不等式的证明宜兴市教研室储六春证明不等式的常用方法1．比较法：要证明，通常用作差，经过适当的变形与比较；或作商与比较。例1．（1）若，求证：；（2）若，求证：例2．设，求的最小值。此题先猜想后证明是处理对称许多极值问题的常用方法。2．分析综合法：通过等式或不等式的变形转化为容易的、熟悉的不等式，从而说明原不等式成立。或者从一些容易的、熟悉的不等式开始，经过一系列变形导出要证明的不等式。例1．已知，求证：想法是把当作参数，将其看成是关于的一元二次方程，用判别式的方法来证。例2．已知为正整数，且，若，那么，长度分别为的三条线

2、段能否构成一个三角形？若能，求出三角形的面积；若不能，请说明理由。3．放缩法：要证明，可先证，后证。在放缩过程中，通常利用不等式的对称性，简化问题，如不妨设等形式，这样可以给结论带来很大的方便，这种技巧在证明对称不等式时常用。例1．证明：第8页考察；；；得出的结果不同。例2．求证：对任意正实数，均有分析：像这种问题一般不考虑直接去分母，可以考虑对每个因式化简。4．变量代换法：引进适当的代换，不仅使不等式的证明简化，而且比较容易找到证题思路，如代数换元法、三角换元法等。例1．（12江苏高考）已知正数满足：，则的取值范围为。（再如象10年高考12题：设实数

3、满足，则的最大值为例2．已知有实根，求证：第8页5．构造法：通常将要证明的不等式构造成相应的图形、函数及数列等加以证明。①设且，求证：②设，且满足。求证：③设为实数，，求证：6．数学归纳法：通常用此方法证明与自然数有关的不等式。已知函数，设曲线在点处的切线与轴交于点，。求证：（1）（2）设，数列的前项和为，证明：7．运用重要的不等式：（1）排序不等式：设有两个有序数组，则即顺序和不小于乱序和不小于反序和。其中是的任一排列，当且仅当或时等号成立。利用排序不等式就可得到切比雪夫不等式：若，则第8页利用排序不等式及切比雪夫不等式证明其它不等式的关键是构造成两

4、个合适的有序数组。（2）均值不等式：设，则有等号当且仅当时取到。（3）柯西不等式：设，则其中等号成立当且仅当运用柯西不等式证明其它不等式关键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式进行探索。在遇到分式不等式时，通常用柯西不等式的变形式。①设，则②设且同号，则1.设，求证：2.（08浙江自主招生）已知，求证：第8页范例探究1．已知，求证：（1）；（2）2．已知函数（其中为自然对数的底）（1）求函数的最小值；（2）当时，证明：3．证明：任给7个实数，其中必存在两个实数满足：。4．设正实数，满足，且，证明：5．设是正实数，，求证：第8页6．已知的三边长分别为，

5、且满足（1）是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。（2）若，求出的周长的最小值。7．非负实数满足，求证：。8．若，求证：9．若为正实数，且，求证：10．已知正实数满足。求证：（1）（2）11．设正实数及非负实数满足条件，求的最小值，并证明之。第8页12．设给定的锐角三角形ABC的三边长分别为，均为正实数。且满足。试求的最大值，并求出当S取此最大值时，的取值。13．设为正实数，且。证明：14．设求证：15．已知正实数满足，求证：在不等式中至少有两个是成立的。16．设为正整数，求证：第8页17．已知，且满足，求证：18．给定正数，

6、证明：19．设，且，求证：练习：1．设，求证：2．已知且，求证：3．已知，求证：4．求证：5．已知，且求证：6．已知，求证：第8页