西北工业大学计算方法课件第一章绪论nwpu

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1、计算方法讲义教材：计算方法，计算方法课程组作业：计算方法作业集（A、B）参考书：1、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，2001.2、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003.课时数：32第一章绪论内容提要§1.1引言§1.2误差的度量与传播§1.3数值试验与算法性能比较§1.1引言提出实际问题辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系，即得到数学模型。建立数学模型模型的适定性:数学模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）、惟一

2、性（模型是完备的)以及对原始数据具有的连续依赖性统称为模型的适定性.科学与工程计算过程：提出数值问题数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。数值问题举例是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。设计高效可靠的算法计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法—算法。算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描

3、述。算法分类:分类方法1：若算法包含有一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是数值分析研究的第二个任务。一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及

4、维护）。这是数值分析研究的第三个任务。例1例2秦九韶算法算法应用状态计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性，以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。科学与工程计算过程小结提出实际问题建立数学模型提出数值问题设计可靠、高效的算法程序设计、上机实践计算结果计算结果的可视化在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。科学计算（

5、数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：函数的插值和曲线拟合数值积分和数值微分线性方程组求解、非线性方程（组）求解代数特征值问题常微分方程数值解法本课程主要内容本课程的学习方法尽管我们所学算法有限，但许多仍有学多学生会觉得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。1、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式。2、搞清各章问题的基本提法,算法提出的背景。3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，

6、熟练掌握最基本的算法。4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。5、认真进行数值计算的训练。§1.2误差的度量与传播内容提要：一、误差的来源二、误差的度量三、误差的传播一、误差来源及其分类1)模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。2）观测误差数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。3）截断误差（方法误差）数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行

7、结束而导致的。例如：4）舍入误差在实现数值方法的过程中，由于计算机表示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。如利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部分：二、误差的度量绝对误差相对误差有效数字各种度量之间的关系1.绝对误差绝对误差定义：准确值减近似值绝对误差限：2.相对误差Remark:绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近

8、似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程