资源描述：
《13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、八年级数学·上新课标[人]第十三章轴对称13.1线段的垂直平分线的性质（1）忠县民族中学校：杜娟学习新知观察思考为方便居民的出行,准备在小河上修建一座桥.为了让A和B两个社区的居民到桥的距离都相等,建桥的位置应该选在哪?1.线段垂直平分线的性质小结线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?如图所示,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上任意一点,连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB.性质的证明证明思路图中
2、有两个直角三角形,△APC和△BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.证明你能写出已知、求证,并证明吗？已知:MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证:PA=PB.因为点P是线段的垂直平分线上一点,于是就有:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.证明:在△APC和△BPC中,∵PC=PC(公共边),∠PCB=∠PCA(垂直定义),AC=BC(已知),∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).2.线段的垂直平分线的判定1.你能写出上面这个命题的逆命题吗?2.它是真命题吗?这个命题不是“如果…
3、…那么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……那么……”的形式,逆命题就容易写出.原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,那么需证明它;如果假,那么需用反例说明.如何证明？已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.证明方法证法1:过点P作已知线段AB的垂线PC,∵PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即P点在AB的垂直平分线上.又∵∠PCA+∠PCB=180°
4、,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB,∴P点在AB的垂直平分线上.证法2:取AB的中点C,过P,C作直线.∵PA=PB,PC=PC,AC=CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).证法3:过P点作∠APB的平分线,∵PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC,∴△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,∴P点在AB的垂直平分线上.从的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我们把它
5、称为线段的垂直平分线的判定.能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线。KCABDEF尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C(如图所示).求作:AB的垂线,使它经过点C.(3)分别以点D和点E为圆心
6、,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.知识小结1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.2.线段的垂直平分线的集合定义包含两个意思.(1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上.(2)在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.1．如图所示,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为()A.18cmB.22cmC.24cmD.26cm检测反馈解析:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8(c
7、m),∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.B2．如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.CA平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DECC3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是()A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠AB
