模糊系统的梯度下降法设计

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1、如何用梯度下降法设计模糊控制系统主要讲模糊系统结构的选择、模糊系统参数的设计和在非线性动态系统辨识中的应用。在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧几里得空间到的函数的梯度是在某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度,梯度的数值有时也被称为梯度。梯度下降法又称最速下降法。函数在某点的梯度是一个向量,其方向是J(a)增长最快的方向。显然,负梯

2、度方向是减少最快的方向。在梯度下降法中,求某函数极大值时,沿着梯度方向走,可以最快达到极大点；反之,沿着负梯度方向走,则最快地达到极小点。梯度下降法,就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的搜索方向,使得每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯度下降法是2范数下的最速下降法。最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a称为学习速率,可以是较小的常数。g（k）是x(k)的梯度。直观的说,就是在一个有中心的等值线中,从初始值开始,每次沿着垂直等值线方向移动一个小的距离,最终收敛在中心。对于某一个性能指数,我们能够运用梯度下降法,使这个指数降到最小。若该指数为均方误

3、差,我们便得到了最小均方误差（LMS）算法8求函数J(a)极小值的问题,可以选择任意初始点a0,从a0出发沿着负梯度方向走,可使得J(a)下降最快。 ：点a0的搜索方向。前馈控制是一种预测控制,通过对系统当前工作状态的了解,预测出下一阶段系统的运行状况。如果与参考值有偏差,那么就提前给出控制信号,使干扰获得补偿,稳定输出,消除误差。前馈的缺点是在使用时需要对系统有精确的了解,只有了解了系统模型才能有针对性的给出预测补偿。但在实际工程中,并不是所有的干扰都是可测的,并不是所有的对象都是可得到精确模型的,而且大多数控制对象在运行的同时自身的结构也在发生变化。所以仅用前馈并不能达到良好的控制

4、品质。这时就需要加入反馈,反馈的特点是根据偏差来决定控制输入,不管对象的模型如何,也不管外界的干扰如何,只要有偏差,就根据偏差进行纠正,可以有效的消除稳态误差。解决前馈不能控制的不可测干扰。模糊系统的两种设计方法： 1、首先由输入---输出数据对产生模糊规则,然后根据这些规则和选定的模糊推理机、模糊器、解模糊器来构造模糊系统； 2、首先描述控制系统的结构,然后允许模糊系统结构中的一些参数自由变化,最后根据输入-输出数据对确定这些自由参数。这里釆用第二种方法。 模糊控制系统的结构： 带有乘积推理机,单值模糊器,中心平均解模糊器和高斯隶属度函数的模糊系统。 假设所要设计的模糊系统为：（13

5、.1）其中,是固定不变的,,和是自由变化的参数（令8）。使用该方法设计模糊控制系统的核心问题是：确定这些自由参数。 （1）、首先,设计模糊系统的结构把（13.1）中的模糊系统表述为一个前馈网络,有助于以某种最优的方式确定这些参数。具体来讲,从输入到输出的映射可以根据下面的运算得到：首先,输入通过一个乘积高斯算子而变成了: （1）然后再通过一个求和运算和一个加权求和运算得到和；最后计算模糊系统的输出（个模糊集的中心的加权平均）图13.1模糊系统的网络示意图2、模糊系统参数的设计假设数据是由（12.1）式（）给定的输入——输出数据对：（12.1）其中,,。任务是设计一个形如（13.1）的模

6、糊系统,使得下面的拟合误差最小8（2）通过输入-输出数据对确定模糊系统的3个自由参数使（2）最小,接下来分别用来表示。下面用梯度下降法来确定参数：具体的讲：就是用下面的算法来确定（3）式中,为定步长。如果趋于无穷时,收敛,则由式（3）可知,在收敛的处有,这表明收敛点是的一个局部极小点。由图13.1可知,（于是亦如此）仅通过依赖于依赖于,其中,,,；因此,根据复合函数求导规则,有（4）把（4）代入（3）,即可得的学习算法为（5）用下式确定（6）式中,。由图13.1可知,（于是亦如此）仅通过依赖于,所以根据复合函数求导法则有（7）把式（7）代入式（6）,可得的学习算法为8（8）用同样的步骤

7、,可得的学习算法为（9）通过上面（5）,（8）和（9）三个公式得到的学习算法,完成的是一个误差反向传播程序。 总结用梯度下降法设计模糊系统。 步骤1：结构的确定和初始参数的设置。选择前面所述的模糊系统并确定（模糊集的个数）。越大,产生的参数越多,运算越复杂,但给出的逼近精度越高。这些初始参数可能是根据专家的语言规则确定的,也可能是由均匀地覆盖输入—输出空间的相应的隶属度函数确定。 步骤2：给出输入数据并计算模糊系统的输出：对于给定的输入—输出数