ch、无穷级数

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1、CH11、无穷级数§1、常数项级数的概念与性质一、概念1、定义1：对于数列，称为（常数项无穷）级数。①称为级数的一般项或通项；②级数的前项和称为级数的部分和，显然构成一个数列。2、定义2：若部分和数列有极限，即，则称级数收敛，称为级数的和，记为。若无极限，则称级数发散。称为级数的余项，称为误差。例1、用定义判别下列级数的敛散性①；②；③解：①，故级数发散。②，，故级数收敛于1。③不存在，故级数发散。3、两个重要级数①几何级数或等比级数时收敛，23时发散。证：，发散，，发散，，发散，，收敛，故得证。②调和级数发散证：将级数2项、2项、4项、8项、…、项…组合在一起，有，

2、故发散。二、性质1、若，则2、若，，则也收敛，且3、在级数中去掉或添加有限项不影响其敛散性。三、级数收敛的必要条件定理：若级数收敛，则，即级数收敛的必要条件是通项趋于零。23证：若收敛，则推论：若，则发散。例如例1中的①和③注：级数的通项，此级数未必收敛。例如对于调和级数，通项，但级数却发散。§2、常数项级数审敛法一、正项级数及审敛法1、若，则称为正项级数。定理：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。证：，即为单增数列，故级数收敛。2、审敛法①比较审敛法定理：对于两正项级数、，设，则(1)当收敛时，也收敛；(2)当发散时，也发散。证：(1)若收敛,设其和为，则的部分

3、和，即有界，从而收敛。(2)若发散，显然其部分和，则的部分和，从而，即发散。23例1、讨论级数的敛散性。解：时，，而发散，故发散。时，将级数1项、2项、4项、8项、…、项…组合在一起，有等比级数，故收敛，从而收敛，即级数当时发散，时收敛。②比较审敛法的极限形式定理：对于两正项级数、，若，则与同敛散。例2、讨论下列级数的敛散性。①②③④解：①，而发散，故发散。②，而发散，故发散。③，而发散，故发散。23④，而收敛，故收敛。③比值（达朗贝尔）审敛法定理：对于正项级数，若，则时级数收敛，时级数发散，时需进一步判别。④根值（柯西）审敛法定理：对于正项级数，若，则时级数收敛，时

4、级数发散，时需进一步判别。例3、判别下列级数的敛散性。①②③④解：①收敛②，收敛，从而也收敛。③收敛④收敛。例4、判别下列级数的敛散性。①②③④⑤解：①，，收敛，故也收敛。23②因均收敛，由性质知原级数也收敛。③，而收敛，故也收敛。④时，发散，时，发散时，，而收敛，故原级数收敛⑤时，级数变为，。二、交错级数及审敛法1、若级数各项正负相间，即为，则称之为交错级数，可记为。2、交错级数的莱布尼兹判别法若交错级数满足①②，即单调下降趋于零，则①收敛，且其和(首项)；②余项的绝对值(误差)证：①因，得单增，且有上界，故有极限，且。又，即也有极限，从而部分和数列有极限，故级数收

5、敛于，且。23②即也是一个交错级数，并满足条件①、②，故也收敛，且其和（首项）。例5、讨论下列交错级数的敛散性。①②③解：①单降趋于零，故收敛。②单降趋于零，故收敛。③令即时，单降且趋于零，故收敛。三、绝对收敛与条件收敛1、若级数的项为任意实数，则称之为任意项级数，其各项绝对值构成的级数称为的正项级数。定理：收敛收敛。误证：因，而收敛，由比较审敛法收敛。证：令。因收敛，得也收敛。又，从而也收敛。2、对任意项级数及其正项级数23①若收敛（此时自然也收敛），则称绝对收敛；②若发散，而收敛，则称条件收敛。例6、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性。①②③④⑤解：①，而收敛，

6、故收敛，即原级数绝对收敛。②对交错级数，单降趋于零，级数收敛。但显然发散，故原级数条件收敛。③令，又，即单降趋于零，从而级数收敛。又，由比较审敛法发散，即原级数条件收敛。④收敛，故原级数绝对收敛。⑤时，，发散，时，单降趋于零，收敛，，故原级数§3、幂级数一、函数项级数1、项为函数的级数称为函数项级数。231、若数项级数收敛（发散），则称为的收敛（发散）点，收敛（发散）点的全体称为的收敛（发散）域。2、对收敛域中任一，收敛，令其和为，故在收敛域上为的函数，令为，称之为的和函数。二、幂级数及其收敛性1、称为幂级数，称为幂级数的系数。2、定理1（Abel定理）①若在时收敛，

7、则满足的一切使绝对收敛；②若在时发散，则满足的一切使发散。即3、收敛半径与收敛区间由Abel定理知，只可能有如下三种情况：①对任一，都收敛；②除外，处处发散；③存在，当时发散，当时收敛。当时，可能收敛，也可能发散。称为的收敛半径，级数可能在或上收敛，此区间称为的收敛区间。规定：对①，，收敛区间为；对②，，收敛区间缩为一点。234、收敛半径、收敛区间的求法定理2：设极限，其中为中相邻两项的系数，则①若；②若；③若。上述三种情况可统一为。求出后，再用适当的方法判别出时级数的敛散性，即可得出级数的收敛区间。例1、求下列级数的收敛半径和收敛区间①②③④⑤⑥⑦