grava3球函数

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1、球函数及其性质球坐标中的Laplace方程的分离变量解法1球坐标中的Laplace算子球坐标由第二格林公式得微6面体微6面体各面上的变化沿ρ方向沿ρ方向面积沿θ增加方向面积沿λ增加方向面积微6面体体积2分离变量解法球坐标中的Laplace方程分离变量法微分解方程Laplace方程的分离变量解法――――――Fourier方法分离变量解法的解得到:连带Legendre方程――――Legendre方程连带Legendre方程Legendre方程(上式β=0)3特征值问题2kπ周期函数2kπ周期条件必须有：才得2个线形无关非零解：特征值问题：解一个含参数的微分方程在

2、一定边界条件下的非零解及相应参数值的问题特征函数----非零解相应参数值为特征值Legendre函数1Legendre方程的级数解或级数解Legendre方程的两个线性无关解n偶数时为多项式n奇数时为多项式2其收敛性3Legendre函数n偶数时为多项式n奇数时为多项式最高次项系数规定为此多项式为n阶Legendre函数，或s=0,1,2,….4罗巨格（Rodriger）公式Legendre函数另一个表达式连带（缔合，伴随）Legendre函数1连带Legendre方程与Legendre方程关系连带Legendre函数是连带Legendre方程在[-1,1]

3、中有界条件下的特征函数连带Legendre方程的两个线性无关解可由Legendre方程的两个线性无关解求得2连带Legendre方程的级数解两个线性无关解：3其收敛性4连带Legendre函数n阶orderk级（次）degree（rank）连带Legendre函数文献中另一种表示方式为：k=0时连带Legendre函数退化为Legendre函数正规化（正则化）normalized：半正规化（半正则化）semi-normalized完全正规化（完全正则化）fullynormalized---使用最方便，应用最广泛球函数的正规化原则：使球函数在单位球上的平均值为

4、1TheleadingsquarerootfactorinthedenitionofYlmisusedsothatwehavetheconvenientnormalization:Notethatitdoesn'tmatterhowtheYlm'sarenormalized,inthesensethatiftheYlm'saremultipliedbyanyadditionalconstant,Equation3.32willstillsatisfyLaplace'sequation.Sometimesingeophysicsothernormalizati

5、onsareused—sobecareful.球函数sphericalharmonicsLaplace方程的解可分解成的积内部Laplace方程的分离变量有限解的一般形式分离变量法Laplace方程的分离变量有限解的一般形式在曲面外部球函数面球函数Surfacesphericalharmonics体球函数Solidsphericalharmonics由上式乘得到几何意义各种函数几何意义1Legendre函数的零点经过零点时,改变正负符号2面球函数的意义带球函数k=0n条纬线将球面分成n+1个正负相间的条带扇球函数k=n将球面分成2n个正负相间的扇形田球函数0

6、特征函数连带Legendre方程――――Legendre方程级数解级数解连带Legendre函数――――Legendre函数Laplace方

7、程解的一般形式球函数面球函数体球函数Legendre函数的零点的意义面球函数的几何意义正交性和加法公式母函数和递推公式正规化（正则化）