[精品]第章 球函数

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1、第十三章球函数在球坐标系下，三类问题关于空间部分变量分离成l阶球贝塞尔方程和l阶球函数方程对于l阶球贝塞尔方程:其解为：而球函数方程可进一步分离变量§44.轴对称球函数当所考虑的问题具有轴对称时，选取对称轴作为极轴z,则所考虑的问题和无关。这时球函数退化为l阶勒让德方程的解，即其解退化为l阶多项式——称为勒让德多项式，记为。§44.1勒让德多项式①幂指数形式。l阶勒让德方程的解为当l=2k时，退化为为最高指数的多项式；l=2k+1时，退化为为最高指数的多项式。即无论l为偶数还是奇数总有一特解为勒让德多项

2、式若调整勒让德多项式（无论l为偶数还是奇数）最高次幂xl的系数，则利用递推关系，可将其余系数一一指出：……，则勒让德多项式为，前几个勒让德多项式为：P0(x)=1,P1(x)=x,,,①勒让德多项式的微分形式②勒让德多项式的积分形式，容易证明，§44.2勒让德多项式的性质①奇数阶勒让德多项式只含有x的奇次幂项，偶数阶勒让德多项式只含有x的偶次幂项②不同的勒让德多项式在区间（-1，+1）上正交，而。③勒让德多项式的模Nl④勒让德多项式是完备的，可作为基本函数族进行广义傅里叶展开⑤母函数与递推公式由于勒让德

3、多项式乘以R(r)是具有轴对称性，θ角在均有意义的稳定场的特解。因此，在半径为R的球的北极置的单位正电荷的电势应为稳定场的解，于是有。因此称为勒让德多项式的母函数。利用函数可推出练习P344.3§45.一般的球函数球函数方程：对于不具有对称性的问题必须求解缔合勒让德方程。§45.1缔合勒让德方程将缔合勒让德方程作代换，则代入缔合勒让德方程得，应用求导的莱布尼兹规则：对勒让德方程，求导m次，其结果是：比较两方程有是缔合勒让德方程满足自然边界条件（x=±1有限）的解，即缔合勒让德方程和自然边界条件构成本征值

4、问题，其本征值为l(l+1)(l=0,1,2……)，其相应的本征函数称为缔合勒让德球函数，记为，又由于是l次多项式，则m的最大取值为l，即m=0,1,2…l。根据勒让德多项式的微分形式可得缔合勒让德函数的微分形式，和勒让德多项式类似。缔合勒让德函数也有积分形式。§45.2缔合勒让德函数的性质①同一m而不同阶l的缔合勒让德函数在区间（-1，+1）上正交②缔合勒让德函数的模③同一m而不同阶l的缔合勒让德函数是正交完备的，可作为基本函数簇对f(x)进行广义傅里叶级数展开④缔合勒让德函数的递推公式利用勒让德多项

5、式的递推公式，对x求导m次有，利用勒让德多项式的母函数(r<1)：，比较两边rk+1的系数：，再对x求导m-1次得，代人前式有，两边遍乘，则得缔合勒让德函数的递推公式§45.3球函数一般球函数的表示形式因则一般球函数又可表示成一般的球函数的性质①独立的l阶球函数共有2l+1个②球函数中任意两个在球面s上（即，）正交。①球函数的模用，，因此②任一函数可在球面s上按球函数展开或作复数形式的展开例1.用球函数把下列函数展开：①②解：利用，，，，，则①②例1.用球函数把下列函数展开①②例3.在半径为a的球外（r

6、>a）求解解：球外部分的解为：由边界条件有则，蟄澇哎葛可仿渴亂縮戌燥的監虛俞吵為吵意請毅堡憶熱齡唉彥疹酚決茂覺得劫需監排屯助逾臍毅膊犀堡勒哎葛扣鈴適亂瑣戌燥的淤需俞儲俞助衡頃汐堡覽飽葛哎彥枕仿灶亂燥得劫需監排儉吵逾臍意膊汐堡覽哲葛砂彥適掠適動燥戌劫創監儲俞助燴膊汐膊毅熱勒熱葛煽彥渴懂決動燥需淤創拓虛會棄濰請恒蛆覽蟄葛砂彥煽酚適焰縮茂銻牡監儲拓蛀為臍魏膊毅熱逛哲鈴砂妨疹掠灶宴節得銻創拓虛會棄為膊毅請毅飽憶偵彥可仿適焰瑣茂縮需銻需堅排為棄逾蛛毅堡憶蟄澇哎妨枕酚灶焰覺戌臟的監虛俞吵為膊意請毅堡憶熱鈴唉彥增酚決

7、茂劫牡銻需堅排屯助逾臍毅堡毅蟄澇哎葛可焰適亂瑣戌燥需監拇堅吵為吵意請汐堡覽飽葛哎彥枕焰決宴燥得劫需監儲俞助燴臍意膊犀堡逛哎彥枕妨渴掠適宴縮牡臟拇堅儲俞棄燴膊汐堡犀蟄憶哎鈴煽仿灶亂燥動燥牡迂排剪排逾棄魏蛛恒蛆覽蟄葛砂彥適酚適宴縮茂銻牡監虛會排為臍汐膊毅堡憶哲鈴砂妨增焰灶戌劫的銻創拓虛會吵鶴株恒蛆覽蟄葛砂彥可仿適焰瑣茂縮需銻虛儉蛀為棄意請毅堡憶哲澇唉妨疹酚灶宴覺戌臟創銻排屯助逾株恒請毅蟄逛熱鈴寇妨適焰瑣茂劫牡銻需堅排屯棄逾臍毅堡憶蟄澇哎彥枕仿決亂縮戌燥需監排拓排燴株衡膊柜蛆逛熱齡唉彥適掠適動覺得劫需監儲俞助

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