“宅配便”诠释现代物流

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1、§4.4线性方程组解的结构设线性方程组若记则上述方程组可写成向量方程Ax=b.当b=0时,称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.(1)n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩R(A)

2、b)的秩相等,且当R(A)=R(B)=n时有唯一解;当R(A)=R(B)

3、1,···,xn=n1为方程组Ax=b的解,则称为方程组Ax=b的解向量.一、齐次线性方程组解的性质(1)若x=1,x=2为Ax=0的解,则x=1+2也是Ax=0的解.证明:因为A1=0,A2=0,所以A(1+2)=A1+A2=0,故x=1+2也是Ax=0的解.(2)若x=1为Ax=0的解,k为数,则x=k1也是Ax=0的解.证明:因为A1=0,所以A(k1)=kA1=k0=0,故x=k1也是Ax=0的解.把方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合记为S.二、基础解系及其求法1.基础解系的定义称向量组1,

4、2,···,t为齐次线性方程组Ax=0的基础解系,如果(1)1,2,···,t是Ax=0的一组线性无关的解;(2)Ax=0的任一解都可由1,2,···,t线性表出.如果向量组1,2,···,t为齐次线性方程组Ax=0的一组基础解系,那么,Ax=0的通解可表示为:x=k11+k22+···+ktt其中k1,k2,···,kt为任意常数.注：方程组Ax=0的基础解系是不唯一的.2.线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的前r个列向量线性无关,于是A可化为:则,Ax=0(1)现对(xr+1,···,x

5、n)T取下列n–r组数(向量):分别代入方程组(1)依次得:从而求得原方程组的n–r个解:···,下面证明:1,2,···,n-r是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.(1)证明:1,2,···,n-r线性无关.由于n–r个n–r维向量线性无关.所以n–r个n维向量1,2,···,n-r亦线性无关.(2)证明Ax=0的解空间的任一解,都可由1,2,···,n-r线性表示.设x==(1,···,r,r+1,···,n)T为方程组Ax=0的一个解.作1,2,···,n-r的线性组合=r+11+r+1

6、2+···+nn-r,则也为方程组Ax=0的一个解.=+···+且又由于与都是方程组Ax=0的解.而Ax=0又等价于方程组所以与都是方程组(1)的解.于是,由得1=c1,2=c2,···,r=cr.故=.(1)=r+11+r+12+···+nn-r.所以,1,2,···,n-r是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.即定理7:设mn矩阵的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Amnx=0的解集S的秩为n–r.当R(A)=n时,方程组Ax=0只有零解,故没有基础解系(此时解集空间只含一个零向量,为

7、0维向量空间).当R(A)=r

8、k1,k2,···,kn-rR}.例1:求齐次线性方程组的基础解系与通解.有解:对系数矩阵A作初等行变换,变为行最简矩阵,得即得基础解系:并由此得通解:例2:设AmnBnl=Oml,证明R(A)+R(B)n.证明:设B=(b1,b2,···,b

9、l),则AB=A(b1,b2,···,bl)=(0,0,···,0)=Oml,即Abi=0(i=1,2,···,l),也就是说,B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量.R(B)=R(b1,b2,···,bl)n–R(A).R(A)+R(B)n.性质知:方程组Ax=0的解向量组的秩为n–R(A),由齐次线性方程组解的因此,故这正是第三章第三节的性质8:若AmnBnl=O,则R(A)+R(B)n.例4:解线性方程组解:对系数矩阵A施行初等行变换:所以原方程组的一个基础解系为:依此得,故原方程组的通解为:x=k

10、11+k22+k33,其中k1,k2,k3R.三、非齐次线性方程组解的性质证明:因为A1=b,A2=b,1.非齐次线性方程组解的性质(1)