解一元二次方程（1）

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1、用直接开平方法解一元二次方程（导学案）连平县元善中学杨永生教学目标：1．了解形如的一元二次方程的解法——直接开平方法。2．能对缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。教学重点：运用开平方法解形如的方程；领会降次──转化的数学思。教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如的方程。一、复习导入：（一）知识链接1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么

2、这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=，即x=或x=。如：9的平方根是；的平方根是。平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根。2．x2=4，则x=。（二）自主学习3.想一想：（1）求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？（2）如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=4，能否也可以用同样的方法来求解呢？总结：（直接开平方法解一元二次方程）一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的

3、方法叫做直接开平方法。对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得。注意：（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义。（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”。（3）当c＞0时，方程有两个不相等的实数根，当c=0时，方程有两个相等的实数根实数根，当时，方程没有实数根。二、典例精析例1：解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25；（3））（x﹣1）2=8。分析：（1）先

4、变形得到x2=4，然后利用直接开平方法求解；（2）首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5，再解一元一次方程即可；(3)首先两边直接开平方可得x﹣1=±2，再解一元一次方程即可。练习1．解方程：（2x+3）2﹣25=0。分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答。解：移项得，开方得，解得，练习2．解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2。分析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出这两个方程的解即可。解：两边开方得：练习3．课本第6页练习。三、课堂研讨：用直接开平方法判断方程中字母参数的

5、取值范围【例2】若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（　　）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可。解：总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围。练习3．已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（　　）A．n=0B．m，n同号C．n是m的整数倍D．m，n异号分析：首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可。

6、解：练习4．如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是　　。四、学后反思本节课你有那些收获？跟大家分享吧。你还有哪些疑惑？1.用直接开平方法解形如x2=c（c≥0），那么x=±。2.由应用直接开平方法解形如x2=c（c≥0）转化为应用直接开平方法解形如那么，进而求得，达到降次转化之目的。五、课堂检测(一)选择题1．方程x2﹣9=0的解是（　　）A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±92．已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（　　）A．x1=x2=2B．x1=x2=﹣2C．x1

7、=﹣4，x2=4D．x1=﹣2，x2=23．方程x2=0的实数根有（　　）A．1个B．2个C．无数个D．0个4．方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个5.方程3x2+9=0的根为（）．A．3B．-3C．±3D．无实数根6.方程（1﹣x）2=2的根是（　　）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，7．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（　　）A．3B．﹣3C．0D．18．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x

8、2，下列说法正确的是（　　）A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于39．关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（　　）A．x1=﹣2，x2=3B．x1=﹣7，x2=﹣2C．x1=3，x2=﹣2D．x1=3，x2=810．已知a2﹣2ab+b2=6，则a﹣b的值是（　　）A．B．或C．3