相似三角形——“K字型”相似模型

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1、相似三角形——“K字型”相似模型教学目标：1、理解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，2、利用“K型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题；教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征——“K型”；2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形；3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。教学过程：一、前测练习1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则∽2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,则∽二、模型探究课前完成

2、填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。问题2图中已知角有什么共同特征？学生答：图1中顶点共线三角都是直角，图2中顶点共线三角都是60°。问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°，对应两个三角形还相似吗？图形演示，提问：此时这两个三角形相似吗？请同学们自己画图并证明。请学生叙此时述证明过程：已知：求证：∽证明：∽（或者依据外角等于不相邻的两内角之和）展示学生书写，教师分析，该同学找出的两三角形相似的第一个条件是（

3、）第二个条件是（），他是怎么证明这两个角相等呢？方法1、外角等于不相邻的两内角之和；方法2、三角形的内角和等于平角求解，都可行。问题4若保持共线三等角的度数不变，改变边的长度，对应两个三角形还相似吗？学生答：相似。因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。问题5由此你得到了什么结论？学生答：只要满足共线三角的度数相等，则这两个三角形相似的。问题6此图形形如英语字母谁？学生答：字母K教师答：我们就把这个基本图形叫做K字形，这是我们证明两三角形相似的一个基本图形。观察下图，请大家找出图中的对应边，由此可得

4、到怎样的比例式？你能将该式转化为等积式吗？通过刚才的研究发现，我们利用K型得相似，利用相似可得出边之间的关系。下面我们就一起来研究K字形在相似三角形中的应用。三、模型运用（一）例1如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．则点P的坐标为是否符合K型特征？一线：三等角：相似三角形：变式练习1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=6,∠ABC=∠C=70°，点E、F分别在线段AD、DC上，且∠BEF=110°,若AE=3，求DF的长．处理方式：学生独

5、立完成，请学生回答。变式练习2如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。若AB=4cm，BC=6cm，求DG的长．∽，相似比为1:2设DG=x,则CG=4-x,CF=2x∽，相似比为1:1CG=BF=4-x处理方式：学生独立完成，利用投票器选择答案，利用统计图分析学生的完成情况，请学生回答。教师总结：当两个三角形K型相似且相似比为1:1（或表述为有一组对应边相等）时，我们称这两个三角形为K型全等。四、模型应用（二）例2如图，在四边形AB

6、CD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．是否符合K型图特征？能否根据已知条件构造K型图？怎么构造K型图？　学生答：过点D作。　　　　　　　为什么这样构造？学生答：在直线BC上，，所以过D作，构造出一线三等角。处理方式：引导学生分析构造K型图，留时间给学生书写。变式训练3如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点

7、C恰好落在AD边上的点P处，则FP=是否符合K型图特征？能否根据已知条件构造K型图？怎么构造K型图？为什么这样构造？处理方式：抽学生回答答案。变式训练4(中考改变)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在AB上取点E，使得∠DEC=120°．则AE的长是______．是否符合K型图特征？能否根据已知条件构造K型图？怎么构造K型图？为什么这样构造？处理方式：抽学生回答答案。五、灵活应用如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABM

8、E和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.思路点拨：条件1结论1在直线AG左侧构造K型图。条件2结论2在直线AG右侧构造K型图。条件3，结论3利用差型全等得出HE=HF。处理方式：学生独立思考，小组讨论，成员展示，教师点评。六、课堂小结回想本节课，给你留下印象深刻的片段、环节是什么？请同学来分享一下。七、板书设计