2.5 一元二次方程根与系数的关系

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1、2.5一元二次方程的根与系数的关系教学设计城固县沙河营初中向彦明教材分析1.一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，课标要求通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究

2、一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。2.韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，本节课虽然为选学内容，但通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。学情分

3、析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较复杂一点的一元二次方程化为一元二次方程的一般形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数；或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式；2．本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。 教学策略在电

4、子白板环境下，以学生为中心，在教师的引导下，以学生为主体，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动途径，探究学习一元二次方程根与系数的关系。发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点

5、，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。教学过程：[来源:学&科&网]一、温故知新（课件1）1．一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？二、创设情境（课件2）1

6、.填表、观察、猜想方程X1,X2X1+X2X1·X2x2-2x+1=01,1  x2+3x-10=02,-5  x2+5x+4=0-1,-4  问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根X1，X2用式子表示你发现的规律。三、探究归纳（课件3）1.由以上填表、观察、猜想，可以得到根与系数的关系；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，如果关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），的两个根为x1、x2，则2、如果二次项的系数不为1呢？（课件4）填表、观察、猜想方程X

7、1,X2X1+X2X1·X22x2-3x-2=02，3x2-4x+1=0,1问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律：3.小结：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两个根是X1,X2,那么X1+X2=,X1X2=4.一元二次方程根与系数关系的推导：（课件7）这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.四、实践应用1.根与系数的关系的直接应用（1）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（课件9）1

8、)x2-3x+1=02)3x2-2x=23)2x2-3x=04)4x2=1+2x（2）口答（课件10）1）x2-2x-1=0x1+x2=x1x2=2）2x2-3x+