2.5+一元二次方程的根与系数的关系

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1、第二章一元二次方程5．一元二次方程的根与系数的关系一、学生知识状况分析“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。二、教学任务分析本节是从相关知

2、识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学

3、问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)（板书）     2、一元二次方程有实数根

4、的条件是什么？(△=b2-4ac≥0)3、当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。第二环节：情景引入内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？ （1）x2+3x+4=0（2）6x2

5、+x-2=0 （3）2x2-3x +1=0目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题第三环节：探究新知内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果）方程 x1 x2x1+x2 x1x2  x2+3x+4=0    6x2+x-2=0     2x2-3x +1=0    问题：1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？       2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与

6、系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后

7、面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。第四环节：尝试发展尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x-1=0     x1+x2=________     x1x2=________           （2）3x2+5x=0       x1+x2=________   x1x2=________  （3）x2+7x=-6    x1+x2=_________   x1x2=____

8、_____  （4）5x2+kx-6=0     x1+x2=_________   x1x2=_________（学生迅速演算或口算）尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和（3）差尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。目的：“尝试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，