1.3 正方形的性质与判定

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1、第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定（二）教学目标:1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.发展学生初步的综合推理能力2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.教学重点：掌握正方形的判定条件.教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.教学过程：一、创设问题情景，引入新课

2、我们学习了那些特殊的平行四边形，他们的定义是什么？它们之间有怎样的共同点、包含关系？如何判定？矩形、菱形、正方形，二、讲授新课1．探索正方形的判定条件：（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）定义的变形：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.可以作为判定定理使用。例1如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.解：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形

3、BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴平行四边形BECF是菱形.在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，同样，也可以证明先对角线相等的菱形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。学生活动：板演证明学生练习：1、判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由

4、.（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.师生共析：（1）是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.（2）真命题，由.四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.（3）假命

5、题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形.（1）假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.（2）真命题。2、实践操作检验将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？解：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可.例2例3如图，在四边形ABCD中，E、F、G

6、、H分别为各边的中点，（1）EF与对角线AC有怎样的位置和数量关系？HG呢？（2）四边形EFGH的形状有什么特征？解：（1）EF=GH=AC,EF∥HG∥AC，（2）∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形问题拓展：如果例2中四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？解：如图所示.平行四边形的中点四边形为平行四边形；矩形的中点四边形为菱形；菱形的中点四边形为矩形；正方形的中点四边形为正方.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.学情分析，本节课是在学生已经学习了特殊的平行四

7、边形中的菱形、矩形的基础上，学习正方形的判定是对特殊的平行四边形判定的一个归纳总结和提高。【补充例题】如下图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF.师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法.解：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG∵∠EAF=45°且四边形是正方形，∴∠ADF﹢∠BAE=45°，∴∠G

8、AB﹢∠BAE=45°，即∠GAE=45°，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴E