平行四边形的判定 -素材参考20170603

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1、平行四边形的判定 免费编辑 添加义项名B 添加义项 ?所属类别:其他数学相关平行四边形的定义:两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。基本信息·中文名称平行四边形 ·外文名称parallelogram ·知识目标平行四边形的概念、判定及其性质的应用换句话讲目录1性质2判定方法3例题折叠编辑本段性质平行四边形的性质:(1):平行四边形对边分别相等;(2):平行四边形对边分别平行;(3):平行四边形对角分别相等;(4):平行四边形对角线互相平分;(5):平行四边形邻角互补符号表示为∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥C

2、DAD∥BCAB=CDAD=BC∠A=∠C∠B=∠D(此中未体现对角线平分与邻角互补)折叠编辑本段判定方法平行四边形的判定方法1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);平行四边形的判定2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.对角线互相平分的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(例题3)5.所有邻角(每一组邻角)都互补的四边形是平行四边形;6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。折叠编辑本段例题折叠例1已知，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD。求证:四边形ABCD

3、是平行四边形。证明:∵∠A=∠C，AB∥CD(已知）∴∠B=∠D(等角的补角相等)∵∠A=∠C（已知）∠B=∠D（已证）∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)折叠例2如图１，已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8.(1)若AO⊥BD，试求四边形ABCD的面积;(2)若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积;(3)试讨论:若把题目中"平行四边形ABCD"改为"四边形ABCD"，且∠AOD=θAC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积(用

4、含θ，a，b的代数式表示).平行四边形的判定解:(1)∵AC⊥BD（已知∴S四边形ABCD=1/2AC×BD=1/2×10×8=40(2)过点A分别作AE⊥BD，垂足为E∵四边形ABCD为平行四边形AO=CO=1/2AC=5，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图１BO=DO=1/2BD=4在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AB/AO∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=

5、20√3(3)如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F第3问图在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sinq同理可得CF=CO×sin∠COF=CO×sinq∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF=1/2BD×sinq(AO+CO)=1/2BD×ACsinq=1/2absinq〔3〕如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证:四边形AFCE是平行四边形.分析:由四边形A

6、BCD是平行四边形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，(3)∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，又∠3=∠CFB，∴∠2=∠CFB，∴AE∥CF，又CE∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形.折叠例3在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。证明:∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=36

7、0°∴2(∠A+∠B)=360°∴∠A+∠B=180°即AD∥BC同理，可得AB∥CD∴四边形ABCD为平行四边形过平行四边形对角线的交点任一直线平分平行四边形的面积。折叠例4已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC,CD,DA,AC,BD的中点分别是E,F,G,H,P,Q(1)若四边形ABCD如图①，判断一些结论是否正确(要写出为什么)甲:顺次连接E,F,G,H一定得到平行四边形。乙;顺次连接E,Q,G,P一定得到平行四边形。(2)若四边形ABCD如图②，请你判断(1)中的两个结论是否成立(也要写出理由，有过程)平行

8、四边形的判定答(1)甲:一定会得到平行四边形因为E,F,G,H分别为AB,BC,CD，DA中点所以EF=0.5AC=GHGF=0.5BD=EH(且平行，因为三角形两条边的中点的连线平行且等于另外一条边的一半。)所以EF平行且等于GHGF平行且等于EH所以连接EFGH会得到一个平行四边形。乙:因为E,Q,G,P分别为AB,BD,CD