一次函数图像与性质知识点和典型例题

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1、一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的函数。注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；　　（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。3、性质：　(1)图象的位置:　　　　　　(2)增减性　　k>0时，y随x增大而增大　　k<0时，y随x增大而减小4．求一次函数解析式的方法　　求函数解析

2、式的方法主要有三种　　(1)由已知函数推导或推证　　(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。　　(3)用待定系数法求函数解析式。　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：　　①利用一次函数的定义　　　　构造方程组。　　②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b

3、来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。　　③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。④利用题目已知条件直接构造方程。二、例题举例：　　例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：∵与成正比例，　　设=a(a≠0的常数),　　∵y=,=(k≠0的常数),　　∴y=·a=akx，　　其中ak≠0的常数，　　∴y与x也成正比例。　　例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的

4、纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。　　解：依题意，得　　解得n=-1，　　∴=-3x-1,　　=(3-)x,　是正比例函数；　　=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；　　=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。　　说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。　　例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

5、　　分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例y=2x,y=2x+3的图象平行。　　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，　　∴k=-4,　　∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，　　∴b=18，　　∴y=-4x+18。　　说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0,b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。　　例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到

6、x轴的距离为2，求直线的解析式。　　解：∵点B到x轴的距离为2，　　∴点B的坐标为（0，±2），　　设直线的解析式为y=kx±2,　　∵直线过点A（-4，0），　　∴0=-4k±2,　　解得：k=±,　　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.　　说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。　　（1）图象是直线的函数是一次函数；　　（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）；　　（3）点B到x轴距离为2，则

7、

8、=2；　　（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；　　（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，　　

9、下面只需待定k即可。　　例5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。　　分析：自画草图如下：　　解：设正比例函数y=kx，　　一次函数y=ax+b，　　∵点B在第三象限，横坐标为-2，　　设B（-2，），其中<0，　　∵=6，　　∴AO·

10、

11、=6，　　∴=-2，　　把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1　　把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，　　得　　解得：