D2_1实数系的连续性

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1、数列极限第二章第二章二、确界原理一、实数系第一节实数系的连续性一、实数系数轴：具有原点、单位长度的有向直线0+1-1+n-n自然数集：大于等于零的整数集合，记为正整数集可记为整数集合记为有理数集合：有理数表示为小数一定是无限循环小数无限不循环小数称为无理数有理数与无理数构成实数，记为实数的性质1.实数对四则运算封闭。2.实数是有序的，即任意两个实数a,b必只能满足下列三个关系之一：3.实数具有Archimedes(阿基米德)性，即对任意两个实数a,b,若b>a>0,存在正整数n,使得na>b4.实数全体具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另一个实数(而且既有有理数，也有无理数)2

2、.确界原理设S为R中的一个数集，若存在数M(或L)，使得对一切都有则称S为有上界(或下界)的数集，数M(或L)为S的一个上界(或下界)。设S既有上界又有下界，则S为有界集，否则为无界集。若存在数满足：(1).对一切都有即是S的上界；(2).对一切存在使得是S的最小上界，即则称是S的上确界，记为若存在数满足：(1).对一切都有即是S的下界；(2).对一切存在使得是S的最大下界，即则称是S的下确界，记为确界原理：设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证：对任给一实数x都可表为:x=[x]+(x),这里[x]和(x)分别表示x的整数和非负小数部分。

3、若(x)为有限小数，则化为无限小数表示，这样数集S可用一个确定的无限小数集表示：若S有上界，则可令S中元素整数部分最大者为并记显然不是空集，且对任何再考察中元素第一位小数，且令最大者为并记同样不是空集，且对任何依次下去可得一列非空数集和一列数满足：令以下证即为S的上确界。则或者存在整数使得或者对任何整数若有若对任何整数则由的定义并依次比较x和的整数部分和每一位小数，可知所以对任何有即是数集S的上界。又对任意给定的可取充分大自然数使得再取则的整数部分及前位小数一致，这样有从而任何小于的数都不是S的上界。即是S的上确界。同理可证非空有下界数集必有下确界。定理：非空有界数集的上(下)确界是

4、唯一的。实数的连续性：确界存在定理反映了实数系的连续性。从几何上讲，若实数全体不能布满整个数轴，而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集没有上确界，“空隙”右边数集没有下确界。例如：有理数集Q内有上界的数集未必在Q内有上确界。例设证明T在Q内没有上确界。证：用反证法。设T在Q内有上确界，则显然有由于有理数的平方不可能等于2，因此只有两种可能：由于可知：由于可知：从而得出结论：T在Q内没有上确界。内容小结1.实数系概念2.实数的性质3.确界原理实数的连续性作业P321(1),4,5,7