3.2特殊平行四边形(第2课时)

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1、第2课时2.特殊平行四边形1.能证明菱形与正方形的性质定理和判定定理.2.能用菱形、正方形的性质进行简单的证明与计算.平行四边形邻边相等菱形在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．对边平行且相等．对角相等．对角线互相平分．菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．ABDC有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．【定义】定理:菱形的四条边都相等.已知:如图,四边形ABCD是菱形.分析:由菱

2、形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,AD=BC.求证:AB=BC=CD=DA.∴AB=BC=CD=AD.CBDA画出等腰△ABC关于底边AC对称的图形OACBD请观察和猜想所得四边形有何特征？菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.请证明这个命题!菱形是轴对称图形已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如图，证明：∵四边形ABCD是菱形.ABCDO在等腰△ABD中，∵BO=DO.∴AB=AD（菱形的四条边都相等）.∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.同理：AC平分∠

3、BCD；BD平分∠ABC和∠ADC．求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC．菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．特殊性！菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称性！DOACB【例1】已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度.(2)菱形ABCD的面积．DBCAE【例题】【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面

4、积+△CBD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).若用a,b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面积为：菱形的面积公式菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.1.（怀化·中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）.(A)20(B)18(C)16(D)152.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.3.如图，菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______.3cm60°C【跟踪训练】如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

5、根据定义得：ABCD还有什么方法吗?，定理:四条边都相等的四边形是菱形.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA..分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA.∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.求证:四边形ABCD是菱形.∵AB=AD.∴四边形ABCD是菱形.CBDA定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.分析:要证明□ABCD是菱形,只要证明有一组邻边相等即可.证明:∴AO=CO.∵AC⊥BD.∴DA=

6、DC.∵四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.DBCAO菱形常用的判定方法：1.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则□ABCD是形.（2）若AC=BD，则□ABCD是形.（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形.（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形．ABCDO菱矩矩菱【跟踪训练】由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．如图(1)．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．【定义】定理:正方形的两条对角线相等,并且互相

7、垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四边形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠