考研高数讲稿 第七章 多元函数积分学

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1、第七章多元函数积分学一、考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法；会建立简单应用问题中的函数关系；会求函数的定义域、值域及表达式．2．理解函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性与周期性．3．理解复合函数、反函数、分段函数及隐函数的概念，会求一些简单函数的反函数；能将初等函数分解为一些基本初等函数的复合．4．熟悉基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念．5．理解数列极限与函数极限（包括左右极限）的定义及它们的性质．6．掌握极限的四则运算，会用极限的复合运算法则求极限；掌握夹逼定理与单调有界定理，并会利用它们求极限.7．掌握两个重要极限及其应用．

2、8．理解无穷小、无穷大的概念.，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左极限、右连续），会判断间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解区间上连续函数的性质定理（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质．二、内容结构第七章多元函数积分学§7.1二重积分(甲)内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域其中在上连续，在上连续，则模型II：设有界闭区域其中在上连续，在上连续则关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行

3、计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积

4、分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I设有界闭区域其中在上连续，在上连续。则模型II设有界闭区域其中在上连续，在上连续。则（乙）典型例题一、二重积分的计算例1计算，其中D由y=x,y=1和y轴所围区域解：如果那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。这时先对x积分，当作常数处理就可以了。原式=例2计算解：原式=例3求解一：解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知例4计算二重积分其中解：原式=其中于是二、交换积分的顺序例1交换解原式=其中D由和以及所围的区域由因此按另一顺序把二重积分化为

5、累次积分对三块小区域得原式例2设证明：交换积分次序令三、二重积分在几何上的应用1、求空间物体的体积例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解设两正交圆柱面的方程为，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积其中D为因此而整个立体体积由对称性可知例2求球面所围（包含原点那一部分）的体积解其中D为xy平面上与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算2、求曲面的面积（数学一）§7.2三重积分（数学一）(甲)内容要点一、三重积分的计算方法1、直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设是空间的有界闭区域其中D是xy平面上的有界闭区域，在D上连续函数上连续，则（2）设其中

6、D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则2、柱坐标系中三重积分的计算相当于把(x,y)化为极坐标（）而z保持不变3、球坐标系中三重积分的计算（乙）典型例题一、有关三重积分的计算例1计算，其中由曲面所围的区域解例2计算,其中由曲面所围的区域解令则例3计算所围的区域解用球坐标例4计算解二、在物理上的应用例1求椭圆锥面解设重心坐标（）物体所占空间区域为由对称性可知由锥体体积公式可知令而因此，重心坐标例2设有一半径为R的球体，是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离平方成正比（比例系数k>0）,求球体重心的位置解一：设球面方程为为(R,0,0

7、)，球体的重心坐标为（）由对称性可知由区域的对称性和函数的奇偶性，则有于是因此解二：设球面坐标，(0,0,0)，重心坐标（）由对称性可知于是§7.3曲线积分（数学一）(甲)内容要点一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线L的参数方程则（假设）这样把曲线积分化为定积分来进行计算二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间有向曲线L的参数方程这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值

8、与定向无关，故曲线不考虑定向。三、两类曲线积分之间的关系空间情形：设L=为空间一条逐段光滑有定