三角形的内心与旁心讲稿

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1、【几何十讲】三角形的五心-A（角分线心）内心与旁心陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置．从赛题统计方面来看，其中又以角分线心的问题最为突出，必须熟悉其基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．本讲座介绍内心与旁心问题的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交外接圆于，交于，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有、；、；、；；、；；、；、；（称为对称比定理）．、，（俗称“鸡爪”定理）．（注意，中最后一等式仅当外角分线与边有交点时使用）例、中，是

2、的平分线，点分别在上，满足，分别是的中点；证明：∥．19证：如图，延长到，使，在上取点，使，则∥∥，取的中点，则也是的中点，据中位线可知，∥，∥，则∥，因此共线，因∥，所以，∥．例、是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心．证一：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由，所以∽，得，且，故∽，而，注意，，所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，，所以平分；同理得平分，即是的内心，是的旁心．证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知，19，则，于是四

3、点共圆，所以，又因，则，于是点在上，即为与的交点．设与交于另一点，而由知，分别为的中点，所以．因此，点分别为的内心与旁心．例、如图，四边形中，，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.证：易知，四边形共圆，共圆，因此，.即平分；又由共圆，得，即平分.设于，于，于，过点作，交于，交于；过点作，交于，交于；再作于于，则由平行线及角平分线的性质得，.为证，只要证.由平行线的比例性质得，，因此，由于与的对应边平行，且平分，故是的平分线.从而，即所证结论成立.例、如图，的外心为，是的中点，

4、直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形．19证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点;因是的内心，故共线，且.又是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，，又因，则.作于，则有，，且，所以，，故得，因此，是的中位线，从而∥，而，则.故为直角三角形．证二：记，因是的中垂线，则，由条件延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形．例、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线；证明：点

5、是的内心．证：先证引理：若内切于，的弦切于，延长交于，则是的中点，且．　如图，作两圆的公切线，因是的切线，则，而¡19¡，所以，即是的中点，又由:，得到．回到本题，设，分别切于，切于，据引理知直线过的中点，则，而，，所以，故在，的根轴上，即在内公切线上，所以与重合，即是的中点，故平分；又由，得，于是，即，而，所以，因此平分，从而是的内心．例、如图，是所在平面上的一点，设点关于该三角形的三条内角平分线的对称点为；证明：三线共点．证：如图，是所在平面上的一点，设点关于该三角形的三条内角平分线的对称点为；证明：三线共点．证明：设，只要证三点共线．

6、连，用记号表示三角形的面积，即要证，．由于关于角分线对称，则，因19，于是．由于关于角分线对称，则故，于是，因此,……因，则，因此由得，……由于关于角分线对称，则，所以，又由，得，因此……据，立得，因此所证的结论成立．例、（年全国高中数学联赛）内接于,自作的切线,又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心.以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明:、如图,设的平分线交于，因，则点关于直线对称，又因在上,则，因此共圆,由于为的切线，则19，又由，所以，因此为的内心.、据条

7、件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，由(1)知,点关于直线对称，故，则为的外角平分线，因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，由，则共圆.，故共线,因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因故共圆..所以共线,即是的外角平分线,因此为边外的旁心．例、中，是角平分线上的任一点，分别是延长线上的点，且∥，∥；若分别是的中点；证明：．证二：，所以．证一：如图，延长，分别与交于，注意19关于顶点的等高性及等角性，由面积比定理，，（记号表示面积），所以……①又由∥，∥，得，，所以……②，由①、②得，即……③．（注：③式也可这样得到：，所

8、以）取的中点，据中位线知，∥,,∥,．由③，，作角分线，则，因∥，∥，所以其角分线∥，因，得．例、如图，，内切圆切于，设是的直径，若交于；证明：．证：过作∥，点分别在上；设的半径