三角形的内心外心 重心旁心

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1、三角形四心与向量的典型问题分析资料一三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。性质：1.外心到三顶点等距，即。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即.3.。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点

2、与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．3.；三角形的周长的一半。4.，。三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即。2.△的垂心为，△的垂心为，△的垂心为。四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性质：1.顶点与重心的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。即3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即.4.向量性质：（1）；（2），

3、5.。五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的垂心。结论2：若点为△ABC所在的平面内一点，满足，则点为的垂心。结论3：若点满足，则点为的重心。结论4：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的重心。结论5：若点为所在的平面内一点，并且满足（其中为三角形的三边），则点为△ABC的内心。结论6：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的外心。结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的内心。资料二向量和心一、“重心”的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图

4、⑴.M图⑵图⑴【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.图⑷图⑶【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所

5、以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．　图⑹图⑸【解析】∵，，则由题意得，∵，∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点，若

6、，则是的外心．图⑺图⑻【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺。【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻。资料三向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平

7、分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点

8、满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示，分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D