曲线积分和曲面积分习题集与答案解析

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1、第十章曲线积分与曲面积分(A)1．计算，其中为连接及两点的连直线段。2．计算，其中为圆周。3．计算，其中为曲线，，。4．计算，其中为圆周，直线及轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5．计算，其中为内摆线，在第一象限内的一段弧。6．计算，其中为螺线，，。7．计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧。8．计算，其中是从点到点的直线段。9．计算，其中是从点到点的一段直线。10．计算，其中为摆线，的一拱(对应于由从0变到的一段弧)：11．计算，其中是：1）抛物线上从点到点的一段弧；2）曲线，从点到的一段弧。12．把对坐标的曲线积分化成对弧和的曲经积分，其中为：1）在平面内沿直线从点到；2）沿抛物线从点到

2、点；3）沿上半圆周从点到点。13．计算其中为，，，且从大的方向为积分路径的方向。14．确定的值，使曲线积分与积分路径无关，并求，时的积分值。15．计算积分，其中是由抛物线和所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16．利用曲线积分求星形线，所围成的图形的面积。17．证明曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值。18．利用格林公式计算曲线积分，其中为正向星形线。19．利用格林公式，计算曲线积分，其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界。20．验证下列在整个平面内是某函数的全微分，并求这样的一个，。21．计算曲面积分，其中为抛物面在平面上方的部分。22．计算面面积分，其中为平面和三坐标

3、闰面所围立体的整个表面。24．求抛物面壳的质量，壳的度为。25．求平面介于平面，和之间部分的重心坐标。26．当为平面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？27．计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧。28．计算式中为球壳的外表面。29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分的上侧。30．利用高斯公式计算曲面积：1），其中为平面，，，，，所围成的立体的表面和外侧。2），其中为柱面与平面，所围立体的外表面。31．计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：1），为立体，，，流向外侧；2），为椭球面，流向外侧。32．求向理场的散度。33

4、．利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周，，，若从轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34．证明，其中为圆柱面与的交线。35．求向量场，其中为圆周，。36．求向量场的旋度。37．计算，其中为用平面切立方体，，的表面所得切痕，若从轴的下向看去与逆时针方向。(B)1．计算，其中为抛物线由到的一段。2．计算，其中为摆线，一拱。3．求半径为，中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心。4．计算，其中为螺线，，。5．计算，其中为空间曲线，，上相应于从0变到2的这段弧。6．设螺旋线弹簧一圈的方程为，，，它的线心度为，求：1）它关于轴的转动惯量；2）它的垂心。7．设为曲线，，上相应于从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲

5、线积分化成对弧长的曲线积分。8．计算，其中为圆周(按逆时针方向绕行)。9．计算，其中为曲线，，，从到的一段。10．计算，其中为方向为增大的方向。11．验证曲线积分与路径无关并计算积分值。12．证明当路径不过原点时，曲线积分与路径无并，并计算积分值。13．利用曲线积分求椭圆的面积。14．利用格林公式计算曲线积分，其中是圆周上由点到点的一段弧。15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线的面积。16．计算曲线积分，其中圆周，的方向为逆时针方向。17．计算曲面积分，其中为抛物面在平面上的部分。18．计算，其中是锥面被柱面所截得的有限部分。19．求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。20．求均匀的曲面被曲面所

6、割下部分的重心的坐标。21．计算曲面积分，其中。22．计算，其中是平面，，，所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23．计算，其中为椭球面。24．计算，式中为圆锥面的外表面。25．设，是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，、依次表示，沿外法线方向的方向导数。证明：，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26．利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线，，，从到的一段。27．设是有两阶连续偏导数，求证：。(C)1．求曲线的弧长，从到。2．计算，其中为悬链线。3．求均匀的弧，，的重心坐标。4．计算，其中是沿由点逆时针方向到的半圆周。5．设在内有连续的导函数，求，其中

7、是从点到点的直线段。6．计算，沿着不与轴相交的路径。7．已知曲线积分与路径无关，是可微函数，且，求。8．设在平面上有构成内场，求将单位质点从点移到场力所作的功。9．已知曲线积分，其中为逆时针方向曲线：1）当为何值时，使？2）当为何值时，使取的最大值？并求最大值。10．计算其中为曲面的下侧。11．计算，其中的方程为。12．计算曲面积分，其中是曲线绕轴旋转一周所得曲面的外侧。13．计算，其中为由点到点