探寻神奇的幻方（1）

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1、综合与实践：探寻神奇的幻方（1）西安高新一中初中校区李丽教学目标1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。教学重点探索三阶幻方的本质特征，会构造三阶幻方教学难点构造符合要求的三阶幻方的步骤教法与学法指导:教法：情景体验法、引导发现法。首先通过趣味故事引入数阵图和三阶幻方，让学生感知数阵图与幻方的异同，感受三阶幻方的对称美。然后通过一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引

2、导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获取构造三阶幻方的经验。学法：小组讨论、自主探究、合作交流．教具准备：PPT教学过程：一、巧设情景，引入新课趣味故事1诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）．为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？（通过此趣味故事，引导学

3、生发现解决此类数阵图问题的关键是确定关键位置的数“四角数”——重叠数）活动一：数阵图按照一定的规则将一些数填在特定形状的图形中，把这种图形称为数阵图。1、把1、3、5、7、9这五个数分别填右下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于15。2、将2、3、4、5、7五个数填入下图，使直线上和圆上的数字和相等。解：设a+b+c=d+b+e=a+d+c+e=k∴(a+b+c)+(d+b+e)+(a+d+c+e)=3k即(a+b+c+d+e)×2=3k∴42=3k∴k=14∵a+b+c+d+e=21a+c+d+e=14∴b=7∴

4、2+5+7=3+4+7=14（第1题让学生明确中心数——重叠数的求法，第2题是让学生学会用字母表示数，用列代数式或方程来解决问题。这两个问题都是为后面的幻方做铺垫）方法小结：解数阵图问题的一般步骤：1、确定重叠数；2、确定数对；3、尝试填写二、讲述新课趣味故事2相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾。河水泛滥时，有一只神龟背着一张神秘的图浮出洛水，献给大禹。人们称此图为“洛书”。经过观察，人们发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点，正好凑成从1到9这9个数字．大禹从洛书中各数的相互制约，均衡统一的关系

5、中得到启发治理了洪水。又依此划天下为九州，治理社会。492357816492357816492357816这幅“洛书”，实际上是一个三阶幻方（即3X3方格），由9个数组成，故又称为“九宫图”或“纵横图”，欧洲人称之为“魔术方阵”或“幻方”。活动二：幻方观察：在上述三阶幻方中，（1）这9个数有什么特点？横行、竖行、斜对角的三个数之和（幻和）分别是多少？（2）你认为在这个幻方中，最核心位置是什么数？为什么？1+5+9=15，2+5+8=15，3+5+7=15,4+5+6=15,1+6+8=15,2+6+7=15,2+4+9=15,3

6、+4+8=15（3）有哪些“和相等”的数对？1+9=2+8=3+7=4+6=10,探究：1、将1,2,3,4,5,6,7,8,9填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线的三个数之和相等.（学生4人小组合作交流，探索填写幻方的经验、方法。有的学生仅仅靠回忆刚才的洛书尝试填写，有的学生开始尝试确定幻和和中心数，但多数学生不明白填写步骤以及为什么。）教师引导学生：洛书三阶幻方中的9个数是等差数列，幻和等于中心数的3倍。（1）如何求幻和？（2）如何定中心数？（3）如何定“四角数”？∵a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2

7、+c3=k，a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=45=3k∴k=15∵(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=4×15=60∴45+3b2=60∴b2=5方法小结：解三阶幻方问题的一般步骤：1、定幻和；2、定中心数；3、定“四角数”；4、找“数对”，尝试填写。（学生观察再次填写的幻方，汇总，发现洛书幻方周围的8个数分别绕着中心数5顺时针旋转90°，180°，270°，可得到其他3种填法。或者将洛书中

8、的4和6互换，9和1互换，2和8互换，3和7互换，又可得到不同的4种填法。）三、幻方研究成果介绍：（1）任何一个角上的数都等于与这个数不在同一行、同一列及对角线上的两个数之和的一半。例如，在图中，右上角的“2”等于第2行第1列的“3”与第3行第2列的“1”之和的