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1、高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com高考数学解答题专题三立体几何篇CDEAB1.(全国一18).(本小题满分12分)四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设侧面为等边三角形,求二面角的大小.1.(全国一18)解:(1)取中点,连接交于点,,,又面面,面,.,,,即,面,.(2)在面内过点做的垂线,垂足为.,,面,,则即为所求二面角.,,,,则,.23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.comABCDEA1B1C1D12.(全国二20).(本小
2、题满分12分)如图,正四棱柱中,,点在上且.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的大小.2.(全国二20).解法一:依题设,,.(Ⅰ)连结交于点,则.由三垂线定理知,.3分ABCDEA1B1C1D1FHG在平面内,连结交于点,由于,故,,与互余.于是.与平面内两条相交直线都垂直,所以平面.6分(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知,故是二面角的平面角.8分,,.,.又,.23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com.ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小为.12分解法二:以为坐标原点,射
3、线为轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系.依题设,.,.3分(Ⅰ)因为,,故,.又,所以平面.6分(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则,.故,.令,则,,.9分等于二面角的平面角,.所以二面角的大小为.123.(安徽卷19)(本小题满分12分如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点。(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com3.(安徽卷19)方法一(综合法)(1)为异面直线与所成的角(或其补角)作连接,所以与所成角
4、的大小为(2)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作于点Q,又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离,,所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为,,与所成角的大小为23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com(2)设平面OCD的法向量为,则即取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为4.(宁夏卷18)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一
5、个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm)。(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连结,证明:∥面EFG。4.(宁夏卷18)解:(Ⅰ)取的中点,连结,因为是等边三角形,所以.当平面平面时,因为平面平面,所以平面,可知由已知可得,在中,.(Ⅱ)当以为轴转动时,总有.证明:23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com(ⅰ)当在平面内时,因为,所以都在线段的垂直平分线上,即.(ⅱ)当不在平面内时
6、,由(Ⅰ)知.又因,所以.又为相交直线,所以平面,由平面,得.综上所述,总有.5.(陕西卷19).(本小题满分12分)A1AC1B1BDC三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为,,平面,,,为中点.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的大小.5.(陕西卷19)解法一:(Ⅰ)∵平面平面,∴.在中,,D为BC中点,∴BC⊥AD,又∴BC⊥平面A1AD,又∴平面平面.A1AC1B1BDCFE(第19题,解法一)(Ⅱ)如图,作交于点,连接,由已知得平面.是在面内的射影.由三垂线定理知,为二面角的平面角.过作交于点,
7、则,,.在中,.23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com在中,.,A1AC1B1BDCzyx(第19题,解法二)即二面角为.解法二:(Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,则,∵D为BC的中点,∴D点的坐标为(1,1,0)∴∵∴,,又,∴平面,又平面,∴平面平面.(Ⅱ)∵平面,如图,可取为平面的法向量,设平面BC的法向量为,则∴∴,如图,可取,则,23高考数学解答题专题三立体几何篇chaoyang1970@126.com,∴二面角为.6.(上海卷16)(本题满分12分)如图,在棱长为2的正方体中,
8、是的中点.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).6.(上海卷16)16.解:过作,交于,连接.∵平面∴是直线与平面所成的角. ……4分由题意,得.∵,∴. ……8分∵,∴. ……10分故直线与平面所成角的大小是. ……12分7.(四川延考卷19)本小题满分12分)如图,一张平行四边形