2016数模国赛一等奖论文

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1、太阳影子定位摘要太阳影子定位技术是确定视频拍摄的地点和日期的一种重要方法。本文利用自然地理知识总结出太阳影子变化规律，并且利用多目标规划模型进行时间和地点的确定。对于问题一，根据地理知识和立体几何推出了太阳高度角的求解公式。依据天安门广场经纬度算出影长随时间的变化规律，中午12点14分影长为最小值3.773米；9点影长为最大值7.57米，影子长度由随时间先减后增，呈对称趋势。对于问题二，为了消除杆高未知带来的计算复杂度，本文采用首末时刻影长比和角度差为评价因子，建立多目标线性规划模型，利用误差分析法确定各评价因子权值。建立经纬度网格，遍历出误差较小的区域，减小网格大小逼

2、近最优解。最后用问题一模型验证结果。符合地点为海南西部（18°54′35″N，109°6′17″E）、印度尼西亚（2°12′24″S，107°0′4″E）。对于问题三，增加了未知量即日期n。由太阳赤纬角求解公式得到其与日期成三角函数关系，具有对称性，因此只需遍历半年时间，即可推得整年。在问题二的基础上，以4天为步长进行遍历。采用加权求和法，将多目标规划模型转化成单目标规划模型。对于附件2，符合地点为新疆西部（40°18′42″N，79°24′15″E），日期为2015年5月29日、2015年7月16日。对于附件3，符合地点为湖北省十堰市（110°42′31″E，32°3

3、6′22″N），日期为2015年6月16日、2015年6月28日。对于问题四，增加了视频图像处理。由于角度变化量小且存在视差问题，本文只考虑影长比。用MATLAB提取灰度矩阵，由灰度特征和比例关系计算影子长度。接着以影长比为变量，建立单目标线性规划模型。类似问题二采点遍历，最终确定最优解。符合地点为内蒙古呼和浩特市内（40°48′35″N，111°41′17″E）。当拍摄日期未知时，可利用问题三的模型进行求解，符合的日期除了视频所显示外，还可解得6月1日。此外还有一符合地点为台湾省（23°43′21″N，120°29′52″E），符合的日期为5月12日或8月2日。本文进

4、行了科学合理的推导计算，能够根据太阳影子的变化情况确定经纬度、日期、时刻，确定具有普适性。关键词：多目标规划遍历搜索灰度矩阵自然地理逆问题MATLAB1一、问题的背景与重述1.问题的背景：影子的作用有许多，古时的中国人可由日晷来计算时间。随着科学技术的发展，我们可以通过现代科技产品记录太阳影子的长度和角度变化，从而确定时间和地点。这种技术被广泛应用于视频数据分析之中。2.问题的重述：1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经11

5、6度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3..根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根

6、据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题的分析问题一：针对问题一，这是一个结合自然地理建模的问题。问题的难点在于自然地理知识的运用以及立体几何的解析。我们首先通过对影子的分析，发现它与太阳高度角和直杆长有关。之后结合自然现象总结出有关太阳高度角变化的参数，根据地理知识和立体几何推出了求解公式。最后结合实际数据算出了天安门广场某段时间的影子长度变化情况。问题二：针对问题二，本题要求根据已知日期、北京时刻、直杆影子的坐标变化，推测出直杆所在的地点。该题目的难度首先在于所给数据量小、容易导致最后误差大，其次是全球采点计算数据量庞大。我们首先对数据进行预处理，接着采取多目标规划，以

7、1°为步长采点，利用问题一的模型计算出首末时刻的影长和影子角度差的变化，之后与题目数据进行对比，缩小范围，最终确定最优解。最后用附件1中所有数据进行验证。问题三：针对问题三，本题是在问题二的基础上，减少日期条件，因此太阳赤纬角便成了未知量，增加了计算的复杂度。我们在问题二多目标规划的基础上，增加了一个变量即日期n。我们通过反复实验发现，太阳赤纬角对于日期的变化十分缓慢，且关于夏至日对称。于是我们采取4天为一步长，利用半年时间进行计算，减少了计算量。后同问题二采取多目标规划，最后进行结果检验。2问题四：针对问题四，本题是在问题三的基础上，增