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1、浅谈特殊角的三角形各边的关系以及其面积与各边的关系只要是授完初中教育的人，大家都知道直角三角形各边的关系可以由勾股定理可得:斜边的平方等于两条直角边的平方和，且其面积等于直角边之积的二分之一。这里我要探讨的问题是三角形中已知一个特殊角（如：30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度角）及其各边，那么情形又如何呢？三角形各边是否也存在着某种特殊关系呢？其面积是否也与三角形各边存在着某种直接或接近的关系呢？下面我们就此问题一起来分析探讨论证（30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度
2、角）的三角形各边之间以及面积与各边之间是否存在着某种具体数量关系。如图①所示：在△ABC中，已知：∠A=30，a,b,c分别为∠A，∠B,∠C的对边，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？此三角形的面积又会与其各边a,b,c存在怎样的数量关系呢？分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AB且交AB的延长线于点D，所以：∠ADC=∠BDC=90.在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A=30,所以：CD=AC=b,AD=AC=b.同时在直角三角形BDC中,∠BDC=90,由图①可得：BD=AD-AB=b-c,由勾
3、股定理可得：BC=BD+DC.即：a=（b-c）+（b）。化简可得：a=b-bc+c，所以：S=AB·CD=c·b=。如图②所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？分析：过点C作CD⊥AB且交AB于点D，所以：∠ADC=∠BDC=90。在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A=30所以：CD=AC=b，AD=AC=b.同时在直角三角形BDC中,∠BDC=90，由图②可得：BD=AB-AD=c-b.由勾股定理可得：BC=DC+BD.即：a=（b）+（c-b）。化简可得：a=b-bc+c，所以：S=AB·CD
4、=c·b=。由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为30的三角形其各边的关系是：30度角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的倍的差;其面积等于30度角两邻边之积的四分之一。要是∠A为45角的三角形，它们各边又有怎样的关系呢？其面积与其各边又有怎样的数量关系呢？如图③所示：在△ABC中，已知∠A=45，a,b,c分别为∠A，∠B,∠C的对边，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？三角形的面积又各边a,b,c存在怎样的数量关系呢？分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD
5、⊥AB且交AB的延长线于点D，所以：∠ADC=∠BDC=90.在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A=45,所以：AD=CD=b,由图③可得：BD=AD-AB=b-c.同时在直角三角形BDC中,由勾股定理可得：BC=BD+DC.即：a=（b-c）+（b）。化简可得：a=b-bc+c，所以：S=AB·CD=c·b=。如图④所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？分析：过点C作CD⊥AB且交AB于点D，所以：∠ADC=∠BDC=90。在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A=45，所以：AD=CD=b，同
6、时在直角三角形BDC中,∠BDC=90，由图④可得：BD=AB-AD=c-b.由勾股定理可得：BC=DC+BD，即：a=（b）+（c-b）。化简可得：a=b-bc+c，所以：S=AB·CD=c·b=。由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为45的三角形其各边的关系是：45角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的倍的差;其面积等于45角两邻边之积的四分之根号二。同样的方法我们来分析一下60角的三角形的情况。如图⑤所示：在△ABC中，已知∠A=60，a,b,c分别为∠A，∠B
7、,∠C的对边，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？三角形的面积又各边a,b,c存在怎样的数量关系呢？分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AB且交AB的延长线于点D，所以：∠ADC=∠BDC=90.在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A=60,所以：AD=AC=b,CD=AC=b,由图⑤可得：BD=AD-AB=b-c.同时在直角三角形BDC中,由勾股定理可得：BC=BD+DC.即：a=（b-c）+（b）。化简可得：a=b-bc+c，所以：S=AB·CD=c·b=。如图⑥所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得
8、到同样的结论呢？分析：过点C作CD⊥AB且交AB于点D，所以：∠ADC=∠BDC=90。在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A==60，所以：AD=AC=b，CD=AC=b,由图⑥可得：BD=AB-AD=c-b,同时在直角三角形BDC中,由勾股定理可得：BC=DC+BD，即：a=（b）+（c-b）。化简可得：a=b-bc+c，
