解直角三角函数

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1、第十九章解直角三角形考情分析高频考点考查频率所占分值1.勾股定理★★8～12分2.勾股定理的逆定理★3.锐角三角函数的概念★★4.特殊角的锐角三角函数★★★5.解直角三角形★★6.解直角三角形的应用★★★7.解非直角三角形★★知能图谱第44讲勾股定理知识能力解读知能解读（一）勾股定理及其验证方法（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么。（2）勾股定理的验证。勾股定理的验证方法常见于中考命题。勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明

2、，其中拼图法是最常见的一种方法，验证如下：现有四块直角边长为，，斜边长为的直角三角形纸板，请从中取出若干块进行拼图（需画出所拼的图形），证明勾股定理。证法1：如图所示，∵，∴，∴。证法2：如图所示，∵，∴，整理，得。证法3：如图所示，∵，∴，整理，得。知能解读（二）勾股定理的应用勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其应用有：（1）已知两边求第三边；（2）证明三角形中的某些线段的平方关系；（3）作长为的线段。知能解读（三）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形。点拨勾股定理的逆定理是判定

3、三角形是直角三角形的一个依据。知能解读（四）勾股数一般地，能够成为直角三角形三条边长的三个正常数称为勾股数，当为正整数时，下列各组数都是常见勾股数：，，，，等。如当时，是一组勾股数：当时，也是一组勾股数。点拨求勾股数的方法：（1）如果是大于1的奇数，，是两个连续自然数，且有，则，，是一组勾股数；（2）如果，，为一组勾股数，则，，也是一组勾股数，其中为自然数。方法技巧归纳方法技巧（一）利用勾股定理直接求直角三角形的第三边的方法利用勾股定理求直角三角形的第三边时，应先明确哪条是直角边，哪条边是斜边。点拨本题考查勾股定理及

4、平行线分线段成比例定理，由条件得出为的中点，进而利用三角形中位线定理解题。方法技巧（二）利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状的方法如果一个三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，且为斜边长，所对的角为直角。勾股定理的逆定理将数转化为形，通过计算，判定三角形的形状。点拨已知三角形的三边长，可以运用勾股定理的逆定理判定这个三角形是否为直角三角形，其方法是：先比较三边的大小找出最长边，只是较短两边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形。方法技巧（三）勾股定理及其逆定理的应用勾股定理在现实中的应用比较

5、广泛，但归结起来主要有以下两方面：一是根据勾股定理求某些线段的长度；二是利用其逆定理判断三角形的形状。易混易错辨析易混易错知识把握不好勾股定理适用的范围：只适用于直角三角形，而不适用于其他的三角形。易混易错（一）利用勾股定理直角三角形某条边时，未分情况讨论出现漏解易混易错（二）忽略勾股定理存在的条件致错中考试题研究中考命题规律勾股定理及其逆定理是近年来中考的热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及利用其逆定理判定三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题均有，常与解直角三角形、三角函数、四边形、圆等知

6、识综合在一起进行考查。中考试题（一）利用勾股定理运算求解中考试题（二）利用勾股定理的逆定理判断直角三角形中考试题（三）应用勾股定理解决实际问题中考试题（四）勾股定理的证明点拨证明勾股定理是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到。第45讲锐角三角函数知识能力解读知能解读（一）正弦、余弦、正切的概念如图所示，在中，。（1）锐角的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即。（2）锐角的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即。（3）锐角的对边与邻边的比叫作的正切，记作，即。锐角的正弦、余

7、弦、正切都是的三角函数。注意（1）正弦、余弦、正切的概念都是直角三角形中给出的，应用时要避免对任意的三角形随便套用。（2）不是与的乘积，是三角函数记号，是一个整体。“”表示一个比值，其他两个三角形函数记号也是一样的。（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。（4）在范围内：，，。知能解读（二）特殊角的三角函数值特殊角有角，它们的三角函数值如下表：三角函数值1知能解读（三）知识拓展1锐角三角函数值的变化情况当时，的正弦值、正切值随角的度数的增大而增大，即若，且均为锐角，则；的余弦值随角的度数的增大而

8、减小，即若，且均为锐角，则.2同角的三角函数之间的关系（1）平方关系：为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于1.（2）商的关系：为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切.3互为余角的角的三角函数之间的关系若，则.即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.知能解读（四）用计算器计算三角函数值用计算器求已知