圆的对称性二

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1、圆的对称性主备人：王娟维备课组长：王娟维教学目标(一)教学知识点(二)1．圆的旋转不变性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(二)能力训练要求1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(三)情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法．教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学方法指导探索法．教具准备投影片两张第一张：做一做(记作§3．2．2A)第二张：举反例图(记作§3．2．2B

2、)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨．Ⅱ．讲授新课[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？[生]大小一样．[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋

3、转任意一个角度，两个圆还重合吗？[生]重合．[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．[师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A)按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合

4、时，OB与O＇B＇不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A＇O＇B＇．[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O＇A＇B＇＝∠O＇B＇A＇．[生丙]由△AOB≌△A＇O＇B＇，可得到AB＝A＇B＇．[生丁]由旋转法可知．……[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一

5、个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以和重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇．[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．下面，我们一起来看一看命题的证明．(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)如上图所示，已知：⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇．求证：，AB

6、＝A＇B＇．证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，∴半径OB与O＇B＇重合．∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，∴与重合，弦AB与弦A＇B＇重合．∴，AB＝A＇B＇．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2

7、B)[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，下面我们共同想一想．[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？[生]在同圆或等