圆周角与圆心角的关系1

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1、“圆周角和圆心角的关系”的教学设计教学内容：北师大版九年级下册3.3“圆周角和圆心角的关系”(第一课时)教学目标：（一）认知目标1、了解圆周角的概念2、理解圆周角定理的证明，并会运用它进行有关的证明和计算（二）能力目标1、能用类比方法探索新知识2、学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题的方法（三）情感目标在对圆周角概念和定理的探索过程中，通过观察、实验、类比、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法。教学重点：圆周角概念与圆周角定理教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。教学过程：一、动手实践，揭示概念请同学们在纸上画圆，然后在这个

2、圆上任意画一个角，请把你自以为与他人不同的图形贴在黑板上（学生兴趣盎然地用透明胶贴出如下图形）oABCABooABCBoACoABCAoBCoABCCBAo①②③④⑤⑥⑦⑧图1问题1：观察以上图形，哪个角是我们已经学过了的与圆有关的角，它有什么特点？问题2：图1⑥中的角，有什么主要特征？图中还有“这样”的角吗？问题3：“这样的角与圆心角有什么区别，你能给它下个定义吗？”（设计意图：教师创设情景，让学生画图、观察、分析，发现问题，进而提出问题，使之与圆又一相关的角——圆周角的概念浮出水面，既复习了旧知识，又加深了对新概念的理解）引导学生观察角的顶点，角的两边与

3、圆的位置关系，然后师生共同归纳出顶点在圆上，并且两边都和圆相交（学生口述，教师板书圆周角定义）强调圆周角的两个特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，二者缺一不可。二、创设情景，探究新知O同学们一定很喜欢踢足球，下面是一个射门游戏，请看右图问题4：在这个射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（即圆周角∠ABC）有关，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系呢？我们知道，在同圆和等圆中相等的弧所对的圆心角相等，那么在同圆和等圆中相等的弧所对的圆周角有什么关

4、系？（设计意图：创设学生喜爱的问题情景，体会数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，引导学生思考，为后面的活动埋下伏笔。）请同学们动手画圆O中弧AC所对的圆心角和圆周角问题5：观察弧AC所对的圆周角有几个？这些圆周角与圆心有几种位置关系？oB3ACB2B1oBACoACBoACB（点B在优弧AC上运动）图2图3教师引导学生通过画图与观察，发现虽然以弧AC所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的关系关系只有三种情况（动画演示后显示图2）（设计意图：通过学生画图与观察，发现圆周角与圆心的位置关系，为后面的分类证明定理起铺垫作用，达到分散难点的目的）问题6：弧AC所对的

5、圆周角它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系呢？（设计意图：通过学生动手测量，自主探索，发现结论，既培养了学生的实践能力，又培养了学生的探究精神。）学生通过测量，比较角的大小，找出关系，教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系，然后师生共同归纳得出：命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（板书课题及命题）对于从有限次实验中得出的命题，能当作定理吗？（答：不能，必须应用学过的知识进行推理论证）那么应该怎样证明呢？谈谈你的想法，与同伴交流师生共析，寻找解题途径。oACB图4在问题5中，圆周角与

6、圆心共有三种位置关系，都符合刚才得出的结论吗？这就需要一一去证明它，首先要证明一个命题，通常从特殊位置关系入手，那么，哪一种比较特殊呢？（答：第一种，即圆周角的一边经过圆心，如图4）学生讨论，再让学生叙述证明。思路是利用三角形的外角和等腰三角形的性质得到结论。（学生口述，教师板书）问题7：对于第二种情况怎样证明呢？特殊情况会给我们有什么启发？你能用图4的结论来证明吗？（设计意图：利用命题的特殊情况来证明一般情况是定理证明的常用方法，通过分类讨论的方法，渗透由特殊到一般的转化思想，培养学生思维的严谨性和解决问题的策略）图5oBACDoACBD（1）（2）引导学

7、生利用“转化”的思想将其它两种情况转化为图4的情况，转化的条件是添加辅助线，让学生自己找出正确思路，一名学生上黑板演证明过程）图5（2）的证明与图5（1）类似，但难度稍大一些，学生一下子不易找出角之间的关系，应让学生相互交流、讨论。以上我们从三种位置关系证明了一个重要的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，这一结论称为圆周角的定理。（把前面板书的“命题”改为“定理”，并强调定理使用的前提条件是“同一条弧”）问题8：在射门游戏中，球员在位置B处直接射门，还是传递给在位置D、E、O（点O为圆心）处的球员射门，哪个位置更容易射中球门？为什么？（只要学生

8、回答有理，都应给予肯定）（设计意图：问题的提出，旨在