圆周角和圆心角的关系 教学设计

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1、《圆周角和圆心角的关系》教案（第1课时）萧县柿园初中徐辉教学目标知识技能：掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明．过程与方法：经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法．情感与态度：通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．教学方法指导探索法、讲授法．教学过程一、复习回顾，引入新课1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．2．圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等．当角的顶点在圆心时，就是圆心角．这时角与圆两种不

2、同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？二、探索新知：圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念）（1）（2）（3）图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．1．强调两个要点：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交研究圆周角和圆心角的关系．证一证1．当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系．解：∠ABC=1∠AOC．理由是：2∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠AB

3、O+∠BAO．∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∴∠AOC=2∠ABO．即∠ABC=1∠AOC．22．如果∠ABC的两边都不经过圆心（如下图），结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？（学生互相交流、讨论）如图（1），点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．（体现“分”的数学思想）11∠AOD，∠CBD=∠COD，2211∴∠ABD+∠CBD=(∠AOD+∠COD），即∠ABC=∠AOC．22由1的结论可知：∠ABD=在图（2）中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径

4、BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出．（体现“补”的数学思想）由1的结论可知：∠ABD=11∠AOD，∠CBD=∠COD．∴∠ABD-∠CBD=11(∠AOD-∠COD），即∠ABC=∠AOC．22综上所述，我们可以得到：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（提问：条件是什么？结论是什么？）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．老师提示：圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视．如图1，圆中一段AC对着许多个圆周角，这些个角的大小有什么关系?为什么?如图2，圆中AB=EF，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?如图2，圆中∠C=∠G

5、，那么AB与EF的大小有什么关系?为什么?ACCE图1图2圆周角定理的推论1同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．实际应用：当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系?定理的应用例题分析：如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．证明：∵∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC．又∵∠AOB=2∠BOC，∴2∠ACB=2×2∠BAC，∴∠ACB=2∠BAC．总结规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出

6、同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理．练一练：1．如图，在⊙O上中，∠BOC=50°求∠BAC的大小．2．如图，哪个角与∠BAC相等?你还能找到哪些相等的角?3．指出图中的圆周角．第1题图第2题图第3题图三、课堂小结（一）这节课主要学习了两个知识点：1．圆周角：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．★圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（二）在学习圆周角定理的证明时，渗透了“特殊到一般”和“分类讨论”的思想方法．四、拓展延伸圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．如下图

7、中，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和AC的度数有什么关系？1．你的结论：________；2．证明你的结论．1．圆外角等于它所夹弧的度数差的一半．2．证明：边结BC．五、布置作业PBDP80习题3.4第1，2题