17.1勾股定理在实际生活中的应用

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1、17.1.2勾股定理在实际生活中的应用情景导入　同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手．这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量．下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答．图17－1－511．根据测量AB＝4米，BC＝3米，那么他们将要少走多少米？在解决这个问题的过程中我们应用了什么定理？2．若改变数据AB＝5米，学生穿越草坪的距离AC＝13米，那么他们若不走草坪只多走了多少米？[说明与建议]说明：利用

2、学生身边情景导入新课，使学生经历了从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲，并且又能起到育人的目的．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．图17－1－52置疑导入　有一个有趣的问题：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米(每个小方格的边长为1cm)？你能解决这个问题吗？若从A点爬到D点，蚂蚁有没有最短的爬行距离，你能求出来吗？[说明与建议]说明：设计实际问题背景，激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．建议：教学中教师要鼓励学生积极地进行观察

3、、思考、计算，教师检验并多进行积极的评价．素材二　教材母题挖掘教材母题——教材第29页习题17.1第10题图17－1－53这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．(丈尺是长度单位，1丈＝10尺)这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【模型建立】在解决有关直角三角形的实际问题时，若情况复杂，比如不能直

4、接求边长，这时可利用勾股定理建立方程解决问题．【变式变形】图17－1－541．公元12世纪，印度著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边．渔人观看忙向前，花离原位两尺远．能算诸君请解题，湖水如何知深浅？解：设水深为x尺，则茎秆高为(x＋0.5)尺，由勾股定理，得x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3，即湖水深3尺．2．一根竹子高一丈(10尺)，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是多少

5、？解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为(10－x)尺，根据勾股定理得x2＋32＝(10－x)2，解得x＝.答：折断处离地面的高度是尺．图17－1－553．如图17－1－55是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，长为1米，将绳子拉直后，绳子的末端离旗杆5米，你能求出旗杆的高度吗？试试看．解：设AC＝x米，则AB＝(x＋1)米，BC＝5米，由勾股定理得，AC2＝AB2－BC2，即x2＝(x＋1)2－25，解得x＝12.答：旗杆的高度是12米．4．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有道“荡秋千”的问题：“平地秋千

6、未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”[解析]诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解．图17－1－56解：如图17－1－56，不妨设图中的OA为秋千的绳索，CD为地平面，BC为身高5尺的人，AE为两步，即相当于10尺的距离，A处有一块踏板，EC为

7、踏板离地的距离，它等于一尺．设OA＝x尺，即OB＝OA＝x尺，FA＝BE＝BC－EC＝5－1＝4(尺)，BF＝EA＝10尺．在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，即x2＝(x－4)2＋102，解这个方程，得x＝14.5.所以这个秋千的绳索长度为14.5尺．素材三　考情考向分析[命题角度1]直接利用勾股定理求边长通过对等式a2＋b2＝c2变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c＝，b＝，a＝.在直角三角形中，已知两边，求第三边，可直接应用勾股定理求解．注意挖掘实际问题中的直角，把实际问题转化为有关直角三角形的问题，应用勾股定理计

8、算后回答实际问题．例　如图17－1－57，一架25m长的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，AO＝24m.(1)求这个梯子的底端与墙的垂直距