1.2_定积分(1)

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1、定积分利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步取近似；abxyo用矩形面积近似小曲边梯形面积底典型小区域面积abxyo第三步求和；矩形面积和与曲边梯形面积不相等有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo二、定积分的定义定义以直代曲求和被积函数被积表达式积分上限积分下限积分变量积分和

2、取极限注意：中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______.2-2[-2,2]练一练x＝ax＝by＝0y＝f(x)x＝ax＝b探究点2定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义几何意义思考试将曲线与直线x=0,x=4,y=0所围成的图形的面积写成定积分的形式.提示:≥0(x∈［0,4］)，由定积分的几何意义知，曲线与直线x=0,x=4,y=0围成图形的面积可以用定积分表示为例说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.(1)(2)(3)o1解（1）表示的是图中所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2.所以2o1（2）表示的是图中所示梯形的面

3、积，由于这个梯形的面122积为.所以o（3）半径为1的半圆的面表示的是图中所示积，由于这个半圆o1-11的面积为.所以【变式练习】说明定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.解析是图中所示三角形的面积之差，由于表示的所以o-1-2224性质1性质2性质3补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质4（积分区间的可加性）abcSacScbS23练一练-15若()（A）9（B）12（C）15（D）18【解析】选C.根据定积分的性质及几何意义可得=3+4×(3-0)=15.（2010·福建师大附中高二检测）用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()【解题提示】注意与图中面积的不同.【解析】选D

4、.根据定积分的几何意义可知，应选D.设连续函数f(x)在［a,b］上恒有f(x)<0,则定积分值的符号()A.一定为正B.一定为负C.可能为正也可能为负D.不能确定B＞＜2利用几何意义求定积分解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以首页例2三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.将下图阴影部分的面积用定积分表示出来.【解题提示】利用定积分的几何意义直接求解即可，不能直接表示出来时，要将图形适当分割，使得可以利用定积分来表示.【解

5、析】由y=x2和y=x可得它们的交点为(0,0)，(1,1)，所以图中阴影部分的面积为4.（15分）用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积.【解析】解方程组得交点的横坐标为x=0和x=3.如图，由y=x2-2x+3、x=0、x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为由y=x+3、x=0、x=3和y=0围成的梯形的面积为，所以所求图形（阴影）的面积为若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.说明：例解回顾本节课你有什么收获？1.定积分的实质：特殊和式的逼近值.2.定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取逼近精确值——定积分3

6、.定积分的几何意义及简单应用.如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功.