固体物理习题2

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1、§3.6晶格热容一、晶格振动对热容的贡献在一定温度下，频率为j的简谐振子的统计平均能量：第j个简谐振子的能量本征值：其中——平均声子数在一定温度下，晶格振动的总能量为：将对j的求和改为积分——晶体的零点能——与温度有关的能量g()：晶格振动的模式密度，m：截止频率晶格热容：g()d：频率在－＋d之间的振动模式数二、晶格热容模型Dulong－Petit定律经典统计理论的解释：能量均分定理Dulong－Petit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多都等于6cal/mol·K一摩尔晶体的振动能为：经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。2.Einst

2、ein模型在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都以同一频率0振动。即：困难：低温下，,;且当T0时，CV0，经典的能量均分定理无法解释。定义Einstein温度：高温下：T>>E即在低温下：T<<E即当T0时，CV0，与实验结果定性符合。根据Einstein模型，T0，但实验结果表明，T0，CV∝T3;Einstein模型金刚石热容量的实验数据3.Debye模型假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看成连续介质的弹性波。这表明，在q空间中，等频率面为球面。为简单，设横波和纵波的传播速度相同，均为c

3、。在－＋d之间晶格振动的模式数为由m定义Debye温度：对于大多数固体材料：D〜102K元素D(K)元素D(K)元素D(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au165Cu343La142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金刚石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450作变换：在高温下：T>>D，即在低温下：T<<D，即利用Taylor展开式：利用积分公式：这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV∝T3的实验结果。用D

4、ebye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似就越好。几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较TqyqxmqmqT在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被“冷冻”下来。所以的声子对热容几乎没有贡献；只有那些的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为由于热激发，系统所获得的能量为：CV∝T3必须在很低的温度下才成立，大约要低到T~D/50，即约10K以下才能观察到CV随T3变化。Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，特别是在低温下，Debye理论是严格成

5、立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。In的Debye温度D随温度的变化Cu晶体的模式密度函数Si晶体的总模式密度函数一维双原子链模式密度示意图Einstein模型Debye模型混合模型混合模型Debye模型Einstein模型三维双原子晶体模式密度示意图三、模式密度g()在q空间中，处在－＋d两等频面之间的振动模式数（只考虑其中第j支格波）为由于例：求一维单原子链晶格振动的模式密度一维单原子链晶格振动的色散关系：没有热膨胀力常数不依赖于温度和压力高温时热容量是常数等容热容和等压热容相等CV=CP声子间不存在相互

6、作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。或说：两个格波之间不发生相互作用，单个波不衰减或不随时间改变形式完美简谐晶体的热导是无限大的对完美简谐晶体而言，红外吸收峰，Raman和Brilouin散射峰以及非弹性中子散射峰宽应为零§3.7非简谐效应简谐近似的局限性：一、晶格的自由能与状态方程有dF=dU-d(TS)=－pdV－SdT状态方程：f(p,V,T)=0自由能的定义：F=U－TS热力学第一定律：dU=TdS－pdV由统计物理可知，F2=－kBTlnZ晶格自由能F=F1+F2F1=U(V)只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格振动）无关，U(V)实际上是T=0时晶体的内能。F2与晶

7、格振动有关，即与温度有关。Z：晶格振动的配分函数对于频率为j的格波，其配分函数为晶格自由能为：系统的总配分函数：其中是表征频率随体积变化的量，设与j无关。晶格状态方程：——Grüneisenconst.与晶格振动的非简谐性有关二、热膨胀热膨胀指的是在不加压的情况下，晶体体积随温度升高而增大的现象。令p=0，有：平衡时：对于大多数固体，温度变化时，其体积变化不大，因此可将在静止晶格的平衡体积V0展开只保留V的一次项，有：为静止晶格的压缩模量当温度变化