研究生固体物理第七章晶体中电子在电场和磁场中的运动

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1、第七章晶体中电子在电场和磁场中的运动在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。解含外场的波动方程处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。§7.1准经典运动一、波包与电子速度设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设k很小，近似认为不随k而变对于一确定的k，含时的Bloch函数为在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包。一维情况：波包令分析波包的运动，只需分析2，即

2、概率分布即可。令0波函数主要集中在尺度为的范围内，波包中心为：w＝0即若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为布里渊区的宽度：2/a即三维情况：电子速度为条件：k很小以a为周期，并不会改变波包的形状。电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等能面的法线方向。在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向；电子的运动方向决定于等能面的形状有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。kxkykv电子运动速度的大小与k的关系以一维为例：在能带底

3、和能带顶，E(k)取极值，在能带底和能带顶，电子速度v＝0在能带中的某处，电子速度的数值最大与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。二、电子的准动量在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为Fvdt功能原理：当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v的方向上，和外力F的分量也相等。在平行于v的方向上，和F的分量相等；这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。——电子的准动量晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为。Bl

4、och电子的行为类似于波长为的平面波，再由deBroglie关系得其具有的动量。三、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：{由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况引入电子的有效质量：在周期场中电子的有效质量m*与k有关E(k)取极小值，E(k)取极大值，在能带底：在能带顶：m*>0；m*<02.三维情况分量形式：＝1,2,3矩阵形式：牛顿定律：这里用二阶张量代替了电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致。倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张

5、量的主轴方向，可将其对角化。倒有效质量张量：在主轴坐标系中：例：求简单立方晶体s态电子的有效质量,1,2,3即kx,ky,kz为张量的主轴方向有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。在能带底点：k=(0,0,0)：有效质量张量退化为一个标量在能带顶R点：在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。在X点：有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近（E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近

6、（E(k)极大），有效质量总是负的。有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下，有效质量是一个张量，在特殊情况下也可以退化为标量。四、有效质量的物理解释电子的真实动量：一维情况下：由于周期场对电子的作用力（晶格力）比较复杂，并且往往事先不能知道，而且晶格对电子的作用是量子效应，是不能用经典的方法来处理。牛顿定律：F外：外场对电子的作用力F晶：周期场即晶格对电子的作用力，称为晶格力即其中——电子有效质量有效质量包含

7、了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。对于自由电子：F晶＝0，所以，m*＝m。周期场中的电子已不是自由电子，它在运动过程中总是受到周期场的作用，即F晶0。我们只是为了讨论电子运动的方便，在形式上把它看成一个“自由粒子”，将周期场的作用归并到有效质量中，而将电子对外场的响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有很大差别的物理原因。有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还可以

8、为负值。这都取决于晶格力的大小与正负，即周期场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边界附近发生Bragg反射而在电子与晶格之间交换动量这种形式反映出来的。在能带底：电子的能量取极小值，电子从外场所获得的动量大于电子交给晶格的动量，因而表现为具有正的有效质量m*>0；在能带顶：电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有负的有效质量m*<0。由于在能带底，而在能带顶在拐点处，F外＝－F晶，所以m*。当F外>－F晶时，m*>0；而当F外<－F晶时，m*<0。在能带中的某处必