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1、习题12.1(A)1.(1)；(2)发散；(3)发散；(4),；(5),.2.(1)解:,而发散,所给级数发散.(2)解:为等比级数,,收敛,从而所给级数收敛.(3)解:,所给级数发散.(4)解:,,所给级数发散.(B)1.(1),；(2).2.解:.当时,有,故此级数为.,,故.3.(1)解:,,从而,故所给级数收敛.(2)解:,而,所给级数发散.习题12.2（A）1.收敛,发散,可能收敛也可能发散.2.(1)解:,而收敛,因此所给级数收敛.(2)解:,而发散,因此所给级数发散.(3)解:,,而
2、收敛,故所给级数收敛.(4)解:,,而发散,故所给级数发散.(5)解:,,故所给级数收敛.(6)解:,,故所给级数收敛.(7),,故所给级数收敛.(8),,故所给级数发散.3.(1)解：,发散.又,且有,故所给级数收敛,且为条件收敛.(2)解:,发散.又,且有,故所给级数收敛,且为条件收敛.(3)解:所给级数发散.(4)解:,从而,故所给级数发散.(5)解:,收敛,故所给级数绝对收敛.(6)解:,,发散.又,且有,故所给级数收敛,且为条件收敛.(7)解:令.,而发散,发散.又,则,且有,收敛.故所
3、给级数条件收敛.(8)解:,发散.又,且有,故所给级数收敛,且为条件收敛.(B)1.(1)D；(2)C.2.(1)解:,而发散,发散.又设,则,当时,单调减少,故当时,,即,且有,因此所给级数收敛,且为条件收敛.(2)解:,而发散,发散.又设,则,当时,单调增加,故,即,且有,因此所给级数收敛,且为条件收敛.3.解:令.当时,不存在,故所给级数发散.当时,因为,所以当,即时,收敛,从而所给级数绝对收敛.当,即时,发散.这时,因为,且,所以收敛,从而所给级数条件收敛.习题12.3（A）1.(1)；(
4、2).2.(1)解:,,因此当时幂级数收敛.当时得交错级数,收敛；当时得正项级数,发散.于是,幂级数的收敛域为.(2)解:,,因此当,即时幂级数收敛.当时得交错级数,收敛；当时得正项级数,收敛.于是,幂级数的收敛域为.(3)解:因所给幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.首先当时级数收敛.当时,.由此可知当,即或时级数收敛.当和时得正项级数,发散.综合可得幂级数的收敛域为.(4)解:,,因此当时幂级数收敛.当时得交错级数,发散；当时得正项级数,发散.于是,幂级数的收敛域为.1.(1
5、)解:的收敛域为,令,,.(2)解:的收敛域为,令,,.(B)1.(1)A；(2)B.2.(1)解:,.当,即时,级数收敛；当,即或时,级数发散；当时,,级数发散.于是,幂级数的收敛域为.(2)解:令,则原级数化为,求得收敛半径.当时得正项级数,发散；当时得交错级数,收敛.故当时级数收敛,当或时级数发散.从而,所求级数的收敛域为.1.(1)解:令,求得该函数的定义域为.,则.(2)解:令,求得该函数的定义域为.当时,,.则.习题12.4(A)1.(1)；(2).2.(1)解:.(2)解:.3.(1
6、)解:.(2)解:.(B)1.解:.2.解:,逐项求导,即得.习题12.5(A)1.(1)×；(2)√.2.(1)解:；；.因为满足收敛定理条件,且在连续,在处,,故.(2)设是经周期延拓而得的函数,则满足收敛定理的条件,在连续,是的间断点,又在上,故它的里叶级数在和内收敛于.；；.故.3.解:先将展开成正弦级数.设是经奇延拓和周期延拓而得的函数,则满足收敛定理条件,在连续,是的间断点,又在上,故它的傅里叶级数在上收敛于.；.故.再将展开成正弦级数.设是经偶延拓和周期延拓而得的函数,则满足收敛定理
7、条件,处处连续,又在上,故它的傅里叶级数在上收敛于.；；.故.在上式中令,得..(B)1.(1)；(2).2.解:.习题12.6(A)1..2.(1)解:；；.因为满足收敛定理条件,间断点为,故有.(2)解:设是经周期延拓而得的函数,则在内连续,在处间断,且在内,故的傅里叶级数在内收敛于.；；故.(B)1.(1)；(2).2.解:先将在作偶延拓,再以为周期作周期延拓得,则满足收敛定理的条件,处处连续,在上.；.故.第十二章自测题一、1.×；2.√；3.×；4.√；5.×.二、1.解:,级数收敛.2
8、.解:，当时级数收敛,当时级数发散.3.解:,,级数收敛.三、1.解:,当为奇数时,，当为偶数时,，,级数发散.2.解:,,,收敛.,发散,则原级数条件收敛.四、解:.五、解:.六、解:有界，，对一切，有，而收敛,收敛.七、证:收敛,,则,当时,,从而,收敛.收敛收敛,收敛.八、证:，,.,；,,.
