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1、第四章中心极限定理习题1．设{X}为独立随机变量序列，nn11P{X=±2}=P{X=0}=1−,n=1,2,?n2n+1n2n22证明：{X}服从大数定律。n2．在一家保险合同里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？3．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？1（1）P{X=−K=P{X=K}=,k=1,2,?kk2aa1
2、（2）P{X=−K}=P{X=K}=P{X=0}=,a>0,k=1,2,?kkk34.根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.5.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是多少?16．一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率p=，若3船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角大
3、于3°的概率是多少？7．对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。求:（1）参加会议的家长数X超过450的概率。（2）有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。8.某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地抽取100只，设他们的寿命相互独立，求这100只元件的平均寿命大于120h的概率。9.某学校有1000名住校生，每人以80%
4、的概率去图书馆自习，问：图书馆应至少设多少个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位？第四章中心极限定理习题解答n1n111．证明：E(Xn)=2⋅+(−2)⋅+0⋅(1−)=02n+12n+12n22222D(Xn)=E(Xn)−[E(Xn)]n21n2121=(2)⋅+(−2)⋅+0⋅(1−)=12n+12n+12n2221n令Yn=∑Xk，(n=1,2,…)则EY()n=0nk=1nn1111n→∞DY()nk==D(∑∑X)22D(Xk)=⋅n=⎯⎯⎯→0nnkk==11nnDYn1n→∞∀ε>0,
5、0≤P{Yn−EYn≥ε}≤=⎯⎯→⎯022εnε由夹逼准则知，limP{Yn−EYn≥ε}=0，所以{Xn}服从大数定律。n→∞2．解（1）根据题设条件，所求问题应该以“年”为单位来考虑。在年初，保险公司总收入为10000×12=120000(元)设一年中死亡人数为X，则X~B(n,p)，其中n=10000,p=0.006.从而保险公司在这一年应付出1000X（元），要使保险公司亏本，则必须1000X>120000，即X>120（人）因此由德莫佛—拉普拉斯定理，⎧⎪X−np120−np⎫⎪P{保险公司亏本}=P{X
6、>120}=P⎨>⎬⎪⎩np(1−p)np(1−p)⎪⎭⎧⎫⎪⎪Xn−p=P⎨⎬>=7.7691−Φ(7.7699)≈0⎪⎪⎩⎭np(1−p)(2)P{保险公司获利不少于40000元}=P{120000−1000X≥40000}=P{X≤80}⎧⎪X−np80−np⎫⎪=P⎨≤⎬⎪⎩np(1−p)np(1−p)⎪⎭⎧⎪X−np⎫⎪=P⎨≤2.59⎬=Φ(2.59)=0.995⎪⎩np(1−p)⎪⎭113.解（1）EXk=(−k)⋅+(k)⋅=022nn12121B2=∑DX=∑k=nn+DXk=(−k)⋅+(k)⋅=
7、k；nk(1)22k=1k=12δ2+δ2+δ12+δ11+EXk=−k⋅+k⋅=k2221n2+δ1n2+δ2+δ∑EXk−EXk=2+δ∑EXkBnk=1Bnk=1δ1+12nn11++δ2δ==∑∑kk222+δδBnkk==111+2[(nn1+)]1n2+δ4n2取δ=2，则2+δ∑EXk−EXk=∑k2Bnk=1[n(1+n)]k=14nn→∞=⋅(n+1)(2n+1)⎯⎯→⎯0[n(1+n)]26即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于{Xk}李雅普诺夫定理成立。α1α1（2）EXk=(−k)⋅+(k)⋅=0
8、332α21α2122αDXk=EXk=(−k)⋅+(k)⋅=k3332n2n2αBn=∑DXk=∑k,k=13k=12+δα2+δ1α2+δ12α(2+δ)EXk=−k⋅+k⋅=k3332nα(2+δ)()∑k1n2+δ1n2+δ3k=12+δ∑EXk−EXk=2+δ∑EXk=δBnk=1Bnk=12n2α1+[∑k]23k=1nα∑kk=1
