随机向量函数的分布与数学期望

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1、为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入§3.3随机向量函数的分布与数学期望一、离散型随机向量的函数的分布设为二维离散型随机向量，概率分布为为二元函数，则随机向量函数的概率分布为：表上作业法例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性r=0,1,2,…的分布水瓶座是一个富有开拓精神的人。水瓶座的人思维能力高于本能，是个先锋派人物。感兴趣的不是昨天而是明天。（摘自百度）我们班中有多少水瓶座的男生？假如我们班中有m名男

2、生，其中X人是水瓶座的，p为任一名男生是水瓶座的概率.按理来说，都是确定的.我能数出m，星座作为私隐，我无从知晓.换而言之，X对我来说是个随机变量.其次，我可以很主观地认为于是，X~b(m,p).女生勒？同样地，我们可以假设水瓶座的女生数目Y~b(n,p)，其中n为班中女生数目，X+Y服从什么分布？分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性（卷积封闭性）.二项分布的可加性若Xb(m,p)，Yb(n,p)，Remark若Xib(ni,p)，且独立，则Z=X1+X2+…+Xkb(n,p),n=n1+n2+…+nk.且独立，则

3、Z=X+Yb(m+n,p).春田花花幼稚园的校长经营了一家粉面档，麦兜好想知道究竟有几多人会帮衬它。设X为每天光顾的男性顾客。这是个典型的排队问题，所以可以设X~P(λ1)同样地，每天光顾的女性顾客数目Y~P(λ2)X+Y服从什么分布？泊松分布的可加性若XP(1)，YP(2)，RemarkXY不服从泊松分布.且独立，则Z=X+YP(1+2).解依题意例3.13若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.r=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.二、连续型随机向量的函数的分布

4、设为二维连续型随机向量，密度函数为为二元函数，则随机向量函数的分布函数为：更进一步，若设的密度函数为则下式对几乎处处成立：例3.14设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:它是直线x+y=z及其左下方的半平面.化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的

5、边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式连续型随机变量的和的卷积公式Thm设的密度函数为则的密度函数为特别地，当相互独立时，习惯上，函数的卷积定义为所以，当相互独立时，有为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式也即暂时固定故当或时,当时,当时,于是例3.15若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式令得可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).用类似的方法可以证明:若X和Y独立

6、,结论又如何呢?若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).正态分布具有可加性更一般地，有独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi间相互独立,实数a1,a2,...,an不全为零,则Cor1设相互独立，则Cor2设且相互独立，则即同理可得故有当X,Y独立时,由此可得分布密度为更进一步地，我们有：变量变换法已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函数求(U,V)的分布.变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数则(U,V)的联合密度为若其中J为变换的雅可比行列式：增补变量法可增补一个变量V=g

7、2(X,Y)，若要求U=g1(X,Y)的密度fU(u)，先用变量变换法求出(U,V)的联合密度fUV(u,v)，用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式然后再由联合密度fUV(u,v)，去求出边际密度fU(u)例3.17M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)