第五章 离散傅里叶变换及其快速算法

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1、第五章离散傅里叶变换及其快速算法1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1)时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。(2)时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。方法：周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。(4)经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离

2、散、周期的。过程见图1。图1DFT推导过程示意图(5)处理后信号的连续时间傅里叶变换：(i)是离散函数，仅在离散频率点处存在冲激，强度为，其余各点为0。(ii)是周期函数，周期为，每个周期内有个不同的幅值。(iii)时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。2DFT及IDFT的定义(1)DFT定义：设是连续函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的DFT为：(2)IDFT定义：设是连续频率函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的IDFT为：(3)称为N点DFT的变换核函数，称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。(4)同样的信号，宽度不同的D

3、FT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。(5)引入(i)用途：(a)正逆变换的核函数分别可以表示为和。(b)核函数的正交性可以表示为：(c)DFT可以表示为：(d)IDFT可以表示为：(ii)性质：周期性和对称性：(a)(b)(c)(d)(e)(f)3离散谱的性质(1)离散谱定义：称为离散序列的DFT离散谱，简称离散谱。(2)性质：(i)周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。(ii)共扼对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有共轭对称性。即；；(i)幅度对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关

4、于原点和N/2都具有幅度对称性。即；；(1)改写：(i)简记为(ii)简记为(iii)DFT对简记为：或(iv)(v)4DFT总结(1)DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，它并不要求该序列具有周期性。(2)由DFT求出的离散谱是离散的周期函数，周期为、离散间隔为。离散谱关于变元k的周期为N。(3)如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号，，则重建信号是离散的周期函数，周期为(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为(对应离散谱周期的倒数)。(4)经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为。(5)实序列的离散谱关于

5、原点和(如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~范围获得，从低频到高频。(6)在时域和频域范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。5DFT性质(1)线性性：对任意常数()，有(2)奇偶虚实性：(i)DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。(ii)DFT有如下的奇偶虚实特性：奇奇；偶偶；实偶实偶；实奇虚奇；实(实偶)+j(实奇)；实(实偶)·EXP(实奇)。(3)反褶和共轭性：时域频域反褶反褶共轭共轭＋反褶共轭＋反褶共轭(1)对偶性：(i)把离散谱序列当成时域序列进行

6、DFT，结果是原时域序列反褶的N倍；(ii)如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。(2)时移性：。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。(3)频移性：(4)时域离散圆卷积定理：(i)圆卷积：周期均为N的序列与之间的圆卷积为仍是n的序列，周期为N。(ii)非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。(5)频域离散圆卷积定理：(6)时域离散圆相关定理：周期为N的序列和的圆相关：是n的序列，周期为N。(7)。其中表示按k进行DFT运算。(8)帕斯瓦尔定理：6快速傅里叶变换FFT(1)FFT不是一种新的变换，

7、而是DFT的快速算法。(2)直接DFT计算的复杂度：计算DFT需要：次复数乘法；次复数加法。(3)FFT算法推导：(i)第L次迭代中对偶结点值的计算公式为：，是循环控制变量。(ii)对偶结点的关系如图2所示：图2FFT中对偶结点关系图(i)旋转因子：被称为旋转因子，可预先算好并保存。(ii)整序：经过r次迭代后，得到结果，实际结果应是，所以流程的最后一步是按下标的正常二进制顺序对结果进行整序。(1)FFT算法特点：()(i)共需次迭代；(ii)第次迭代对偶结点的偶距为，因此一组结点覆盖的序号个数是。(iii)第次迭代结点的组数为。(iv)可以预先计算好，而且

8、的变化范围是。(2)FFT算法流程：()(i)初始化