郭健：从古典几何到现代几何

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1、从古典几何到现代几何天津师范大学数学科学学院主讲人：郭健前言几何学源远流长，文献丰富。在长达数千年的人类历史长河中，几何史就是数学史、科学史、人类文明史的一个缩影，从中可以看到人类社会前进的足迹。前言几何学特色鲜明，多彩多姿。从古希腊时代起，就形成了一套科学的研究方法，严密的逻辑体系。两千多年来，无论是思想观念的更新，亦是科学理论的创立，几何学都扮演了开路先锋的角色。前言几何学应用广泛，无处不在。从现代文明的成果看，无论是火箭、卫星的研制发射，还是人类生存空间的保护和改善，无一不用到几何的知识；再从推动科学的进步看，几何学的空间直观引起的直觉思维，构造几何模型产生

2、的结构观念，追求严密逻辑走出的公理化道路，无一不渗透到数学乃至科学的各个领域。古典几何泛指第一流的几何学家及其相应的几何著作，包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等多个方面。现代几何主要是指微分几何，它是由高斯、黎曼等人所奠基，再由加当、陈省身等人发扬光大。前言一、欧氏几何和欧氏空间欧几里得（Euclid,公元前330—公元前275）的《几何原本》使几何学真正成为一门科学。几何，英文为“Geometry”，是由希腊文演变而来的，其原意为“土地测量”。我国明代徐光启翻译《几何原本》时，将“Geometry”一词译为“几何学”，就是从其音译而来。1.《几何原本

3、》介绍《几何原本》共分十三卷，给出了467个命题，几乎涵盖了前人所有的数学成果。全书精心编排，把命题依照彼此的逻辑关系，从简单到复杂，将内容按照顺序排列起来是欧几里得最成功的创造。1.《几何原本》介绍第一卷是全书逻辑推理的基础，给出了什么是点、线、面等23个定义，5个公理，由此讨论三角形全等、边角关系、垂线、平行线、平行四边形、多边形、勾股定理等。1.《几何原本》介绍五条公设是：（1）从每个点到每个别的点必定可引直线；（2）直线可以无限延长；（3）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆；（4）所有直角都相等；（5）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小于两直角，则此

4、两直线必在该侧相交。1.《几何原本》介绍五条公理是：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的东西是相等的；（5）整体大于部分。1.《几何原本》介绍第二、三、四卷讨论线段的计算、直线形和圆的基本性质，共67个命题；第六卷讨论相似形，共33个命题；第十一至十三卷讨论立体几何理论，共70几个命题；其它第五、七、八、九、十卷讨论比例和算术理论。欧氏空间后人把欧几里得建立的几何理论称为“欧氏几何”；成立欧氏几何的平面称为“欧氏平面”；成立欧氏几何的空间称为“欧氏空间”。公理法欧几里得在《几何原本》使用的这种建立理论体系的方

5、法称为“公理法（原始公理法）”。第Ⅴ公设第Ⅴ公设等价于：过直线外一点只可作一直线平行于已知直线。在《几何原本》问世的两千年中，不少人试图去修正，尤其是第Ⅴ公设，被认为可由其余九条所证出，或用更简单或更直观的公理来代替。罗氏几何俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793-1856）也希望能证明第Ⅴ公设，他企图通过否定第Ⅴ公设的等价命题来引出矛盾。但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。2.希尔伯特与《几何基础》1899年法国数学家希尔伯特（Hilbert,1862-1943）发表

6、了著作《几何基础》，结束了对欧几里得给出的理论体系进行修改和完善的工作。他在这部著作中弥补了《几何原本》中公理系统的不足之处，指出了欧几里得几何的一个逻辑上完善的公理系统，由此解决了用公理法研究几何学的基础问题。三个基本对象：点、直线、平面三种基本关系：“在……之上”、“在……中间”、“合同于”2.希尔伯特与《几何基础》五组公理共20条：第一组关联公理，共8条；第二组顺序公理，共4条；第三组合同公理，共5条；第四组连续公理，共2条；第五组平行公理，共1条。现代公理法：以五组公理为基础，陆续定义了一些新的概念和证明一些新的结论（定理），这样建立起了一个依照逻辑关系，

7、排列顺序井然的体系，称为现代公理法。3.公理系统的三个问题构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：（1）无矛盾性：即所有的公理彼此不产生矛盾，也称相容性；（2）独立性：即每一条公理都不能由其它公理推出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的；（3）完备性：即已有的公理已足够了，不能在增加与公理组都相容的新公理。在数学及其它领域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成欧氏几何公理系统这样严格的理论体系。一般地，任何一个公理系统必须是相容的，但未必是独立的，完备性更不是必需的。3.公理系统的三个问题除了欧氏几何，罗氏几何与射影几何的公理系统也具备以上三个条件。任何

8、一个公理体