理论力学13-动能定理

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1、第十三章动能定理力的功质点和质点系的动能动能定理普遍定理的综合应用举例功率·功率方程·机械效率前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的联系。在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功与动能。引言13.1.1常力的功设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图，则力所作的功W定义为功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作

2、用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J(焦耳),1J＝1N·m。13.1力的功13.1.2变力的功设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。力F在微小弧段上所作的功称为力的元功,记为dW,于是有13.1力的功M'M1M2qdsMdrF力在全路程上作的功等于元功之和上式称为自然法表示的功的计算公式。称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中13.1力的功上两式可写成矢量点乘积形式上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。1)重力的功设质点的质量为m，在重力作用下从M1运动到M2。建立如图坐标，则代入功的解析表达式得13.1.3常见力的功13.1力的功M1M2M

3、mgz1z2Oxyz对于质点系，其重力所作的功为由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。常见力的功2)弹力的功物体受到弹性力的作用,作用点的轨迹为图示曲线A1A2,在弹簧的弹性极限内,弹性力的大小与其变形量d成正比。设弹簧原长为l0,则弹性力为A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr常见力的功于是或因为弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。常见力的功3)定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,将该力分解为Ft、Fn和Fb，常见力的功当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为R为力作用点A到轴的垂距。力F

4、的元功为FtFrFbFnOzO1Aq力F在刚体从角j1转到j2所作的功为Mz可视为作用在刚体上的力偶a例1如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5N，滑块在20N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T与F的功。先计算T的功：在运动过程中，T的大小不变，但方向在变，因此T的元功为T15cmBA20cmTPFN因此T在整个过程中所作的功为再计算F的功：由题意：因此F在整个过程中所作的功为因此所有力的功为T

5、15cmBA20cm1.质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。2.质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即13.2质点和质点系的动能刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。(1)平动刚体的动能13.2质点和质点系的动能(2)定轴转动刚体的动能(3)平面运动刚体的动能因为JP＝JC+md2所以因为d·w＝vC,于是得平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。13.2质点和质点系的动能dwCPCvC牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:均质圆环在地面上作纯滚动时

6、的动能见P183。vABC解：II为AB杆的瞬心例2均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。aOrdrO1wPABC例3长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角速度w绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为a，求杆的动能。杆OA的动能是解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是微段的质量微段的动能O1例4求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为w，j

7、=60°。解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:ABOCjwvCvBvAwABABvAvCOCjO1wvBwAB对于曲柄OC：规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式求动能：系统的总动能为：BjA例5滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度w绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线