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1、二、无界函数反常积分的审敛法*第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法函数第五章8/31/2021同济高等数学课件一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数证:根据极限收敛准则知存在,8/31/2021同济高等数学课件定理2.(比较审敛原理)且对充,则证:不失一般性,因此单调递增有上界函数,8/31/2021同济高等数学课件说明:已知得下列比较审敛法.极限存在,8/31/2021同济高等数学课件定理3.(比较审敛法1)8/31/2021同济高等数学课件例1.判别反常积分解:的收
2、敛性.由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分的收敛性.提示:当x≥1时,利用可知原积分发散.8/31/2021同济高等数学课件定理4.(极限审敛法1)则有:1)当2)当证:1)根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足8/31/2021同济高等数学课件2)当可取必有即注意:此极限的大小刻画了8/31/2021同济高等数学课件例2.判别反常积分的收敛性.解:根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.判别反常积分的收敛性.解:根据极限审敛法1,该积分发散.8/31/2021同济高等数学课件定理5.证：则而8/31/20
3、21同济高等数学课件定义.设反常积分则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断反常积分的收敛性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).8/31/2021同济高等数学课件无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.8/31/2021同济高等数学课件定理6.(比较审敛法2)定理3瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x(x>a).8/31/2021同济高等数学课件定理7.(极限审敛法2
4、)定理4则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.8/31/2021同济高等数学课件例6.判定椭圆积分定理4敛性.解:由于的收根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.8/31/2021同济高等数学课件类似定理5,有下列结论:例7.判别反常积分的收敛性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分8/31/2021同济高等数学课件三、函数1.定义下面证明这个特殊函数在内收敛.令8/31/2021同济高等数学课件综上所述,8/31/2021同济高等数学课件2.
5、性质(1)递推公式证:(分部积分)注意到:8/31/2021同济高等数学课件(2)证:(3)余元公式:(证明略)8/31/2021同济高等数学课件(4)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,8/31/2021同济高等数学课件内容小结1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与练习P2681(1),(2),(6),(7);5(1),(2)作业P2681(3
6、),(4),(5),(8);2;38/31/2021同济高等数学课件
