高等数学上册第一章1-习题

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1、二、连续与间断一、函数三、极限习题课函数与极限第一章1一、函数1.函数的概念【定义】定义域值域【图形】(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中22.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.3求【解】【例1】设函数4【分析】利用函数表示法与字母无关的特性：在已知条件中，若把1－x设成t，则x就为1－t，由此可得f(x)和f(1－x)的另一关系.已知求【例2】【解】由设1－x=t，有：①即②②－2×①得：故【观察练习】

2、5【思考与练习】1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同62.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?不是是不是【提示】(2)7⑶⑵3.下列函数是否为初等函数?为什么?以上各函数都是初等函数.84.已知,求【提示】5.设求【提示】9二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点其它10有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质【例3】设函数在x=0连续,则a=,b=.【解】11有无穷间断点及可去间断点【解】为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在【例4】设函数试

3、确定常数a及b.12【例5】设f(x)定义在区间(－∞,＋∞)上,且对任意实数,若f(x)在x=0连续,【提示】证明f(x)对一切x都连续.13【证】题5.证明:若令则给定当时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.14【例6】【证明】【分析】改写结论为若考虑辅助函数则问题转化为证明F(x)在[0,1/2]上必有一个零点.15讨论:则由连续函数的介值定理可知：综上，命题得证.16三、极限1.极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有2.极限存在准则及极限运算法则173.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小（x→0时）:4.两个重要极

4、限6.判断极限不存在的方法～～～～～～～～～5.求极限的基本方法18【例7】求下列极限：【提示】无穷小有界19令20【解Ⅰ】上式【解Ⅱ】上式则有【复习】若21【例8】确定常数a,b,使【解】原式故于是而22【例9】当时,是的几阶无穷小?【解】设其为x的k阶无穷小,则因故23【例10】【解】将分子、分母同乘以因子(1-x),则24【例11】【解】25阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.【解】x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点262.求【解】原式=1(2000考研)273.求【解】令则利用夹逼准则可知28