高数课件19定积分的换元积分

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1、定积分的换元法上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。营口地区成人高等教育QQ群54356621先来看一个例子例1换元求不定积分令则故营口地区成人高等教育QQ群54356621为去掉根号令则当x从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分营口地区成人高等教育QQ群54356621将上例一般化就得到定积分的换元积分公式

2、由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量营口地区成人高等教育QQ群54356621一、换元公式营口地区成人高等教育QQ群54356621证营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621应用换元公式时应注意:（1）（2）营口地区成人高等教育QQ群54356621计算解1由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2故o例2营口地区成人高等教育QQ群54356621令解4令仍可得到上述结果解3营口地区成人高等教育Q

3、Q群54356621解令例3计算营口地区成人高等教育QQ群54356621定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把x换成t，t换成x这说明可用引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限注营口地区成人高等教育QQ群54356621例4计算解营口地区成人高等教育QQ群54356621例5计算解原式营口地区成人高等教育QQ群54356621例6计算解一令原式营口地区成人高等教育QQ群54356621解二接解一对令则营口地区成人高等教育QQ群54356621证营口地区成人高等教育QQ群543566

4、21即：奇函数在对称区间上的积分等于0偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的营口地区成人高等教育QQ群54356621例8计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621（1）设（2）设证营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621另证将上式改写为奇函数营口地区成人高等教育QQ群54356621例10设f(x)是以L为周期的连续函数，证明证明与a的值无关营口地区成人高等教育QQ群54356621例11设f(x)

5、连续，常数a>0证明证明比较等式两边的被积函数知，营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621例12设f(x)连续解营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式二、小结营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解令营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54

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